1、2.5 等比数列的前n项和-学案一、学习目标1掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点)2会用错位相减法求数列的和(难点)3能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题二、自主学习 教材整理等比数列的前n项和阅读教材P55P57第12行，完成下列问题等比数列的前n项和公式1设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为_【答案】1272在等比数列an中，a12，S326，则公比q_.【答案】3或43等比数列an中，公比q2，S544，则a1_.【答案】4三、合作探究 探究1：等比数列的前n项和公式的基本运算例1. 在等比数列an中，(1)若Sn189，q2，an
2、96，求a1和n；(2)若a3，S3，求a1和公比q.【精彩点拨】利用等比数列的前n项和公式及通项公式，列出方程组求相应各个量【自主解答】(1)法一：由Sn，ana1qn1以及已知条件得a12n192，2n，189a1(2n1)a1，a13.又2n132，n6.法二：由公式Sn及条件得189，解得a13，又由ana1qn1，得9632n1，解得n6.(2)当q1时，S3，又a3a1q2，a1(1qq2)，即(1qq2)，解得q(q1舍去)，a16.当q1时，S33a1，a1.综上得或归纳总结：1在等比数列 an的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个
3、量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用2在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论探究2：等比数列前n项和公式的实际应用例2借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051)【精彩点拨】解决等额还贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和(2)从还贷之月起，每月还
4、贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少【自主解答】法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.1.0161.061，a1 739.故每月应支付1 739元法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1104(10.01)6104(1.01)6(元)另一方面，设每个月还贷
5、a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4aa1.0161102(元)由S1S2，得a.以下解法同法一，得a1 739，故每月应支付1 739元归纳总结：解数列应用题的具体方法步骤：(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少弄清题目中主要的已知事项(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，
6、列出满足题意的数学关系式四、学以致用1在等比数列an中，(1)若q2，S41，求S8；(2)若a1a310，a4a6，求a4和S5.【解】(1)法一：设首项为a1，q2，S41，1，即a1，S817.法二：S41，且q2，S8(1q4)S4(1q4)1(124)17.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即a10,1q20，得，q3，即q，a18，a4a1q3831，S5.2为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2014年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2014年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)
7、因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2014年最多出口多少吨？(保留一位小数参考数据：0.9100.35)【解】(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1a，公比q110%0.9，ana0.9n1(n1)(2)10年的出口总量S1010a(10.910)S1080，10a(10.910)80，即a ，a12.3，故2014年最多出口12.3吨五、自主小测1数列 2n1的前99项和为()A21001B12100C2991D12992等比数列an中，a33S22，a43S32，则公比q等于() A2B.C4D.3已知等比数列an中，q2，n5，Sn62，则a1_.4设等比数列an的前n项和为Sn，若a11，S64S3，则a4_.5.求和：. 参考答案1.【解析】数列2n1为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S992991.【答案】C2.【解析】a33S22，a43S32，等式两边分别相减得，a4a33a3即a44a3，q4.【答案】C 3.【解析】q2，n5，Sn62，62，即62，a12.【答案】24.【解析】因为S64S3，所以4，所以q33(q31不合题意，舍去)，所以a4a1q3133.【答案】35.【解】设Sn，则Sn.，得Sn，Sn3.