1、四川省攀枝花市第十五中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.注意事项：1.选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.2.填空题和解答题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.第卷（选择题 共60分）一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知直线，若直线，则直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答
2、案】C【解析】【分析】根据直线垂直，则可求得的斜率，再根据斜率求得倾斜角，即可选择.【详解】因为直线，直线，故可得.设直线倾斜角为，则，又，故可得.故选：C.【点睛】本题考查直线垂直的斜率关系，以及由斜率求解倾斜角，属综合基础题.2. 如图是某学生在七次周考测试中某学科所得分数的茎叶图，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图将数据一一列举，即可得到众数和中位数；【详解】解：由茎叶图可得，这几个数据分别是79,83,83,84,86,87,93；故众数为83，中位数为84；故选：D【点睛】本题考查茎叶图，考查学生分析解决问题的能力
3、，确定众数与中位数是关键，属于基础题3. 准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，抛物线，可得，且开口向左，其准线方程为.故选B考点：抛物线的几何性质4. 对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：根据随机抽样的原理可得，简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p1p2p3.注意无论是哪种抽样，每个个体被抽到的概率均是相同的.考点：随机抽样5. 如图是
4、2018年第一季度五省GDP情况图，则下列描述中不正确的是（ ）A. 与去年同期相比2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长B. 2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省C. 2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元【答案】C【解析】【分析】根据柱型图与折线图的性质，对选项中的结论逐一判断即可，判断过程注意增长量与增长率的区别与联系.【详解】由2018年第一季度五省情况图，知：在中, 与去年同期相比，2018年第一季度五个省的总量均实现了增长，正确；在中，2018年第一季度增速由髙到低排位第5的
5、是浙江省，故正确；在中，2018年第一季度总量和增速由髙到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个,故不正确；在中，去年同期河南省的总量增长百分之六点六后达到2018年的4067.6亿元，可得去年同期河南省的总量不超过4000亿元,故正确，故选C.【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，意在考查阅读能力、数据处理能力，考查数形结合思想的应用，属于中档题.6. 已知点在双曲线的渐近线上，则的离心率等于A. B. C. D. 或【答案】B【解析】由题意得：点在直线上，则故选7. 从一批产品中取出三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件
6、C为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ）A. B与C互斥B. 任何两个均互斥C. A与C互斥D. 任何两个均不互斥【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件的定义可判断出结果.【详解】事件包含事件，故、错误；事件与事件没有相同的事件，故正确，错误.故选：.【点睛】本题考查互斥事件的判断，属于基础题.8. 在区间上随机取一个数，则直线与圆相交的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】这是一个几何概型长度类型，先得到直线与圆相交时的k的范围，再由是取自区间上的一个数，代入公式求解.【详解】若直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，即，解得，又因为在区间上随机取
7、一个数，所以直线与圆相交的概率为.故选：B【点睛】本题主要考查几何概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9. 执行如图所示的程序框图，则输出的等于（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】执行程序框图，； 结束循环，输出故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试
8、题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10. 设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，可得，再由及余弦定理计算可得，再根据同角三角函数的基本关系，可得，最后由面积公式计算可得；【详解】解：因为，所以，因为，所以在中由余弦定理可得，即又，即，所以，再由所以所以故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的应用、椭圆的简单性质和椭圆的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于中档题11. 双曲线的左、右焦点分别为、，点O为坐标原点，点在双曲线左支上，内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足
9、为，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用切线长定理，结合双曲线的定义，把，转化为，从而求得点的横坐标再在三角形中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在中，利用中位线定理得出，从而解决问题【详解】解：根据题意得， 设的内切圆分别与，切于点，与切于点，则，又点在双曲线右支上，而，设点坐标为，则由，得，解得，在中，的长度为故选：A【点睛】本题考查两条线段长的求法，解题时要熟练掌握双曲线简单性质的灵活运用，属于中档题12. 下列说法正确的个数是（ ）设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为 ，则若该大学某女生身高增加，则其
10、体重约增加；关于的方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；过定圆上一定点作圆的动弦，为原点，若，则动点的轨迹为椭圆；已知是椭圆的左焦点，设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，则直线（为原点）的斜率的取值范围是.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据回归方程的意义判断；先推出方程的一根大于1 , 一根大于0小于1,结合椭圆与双曲线离心率定义可判断；利用参数法求出动点的轨迹可判断；由题意画出图形，得到满足直线的斜率大于的所在的位置，求出直线的斜率的取值范围可判断.【详解】根据回归方程的意义，结合回归方程为 ，可得该大学某女生身高增加，则其体重约增加，正确；关于的方程的两根之和
11、大于2 , 两根之积等于1, 故两根中，一根大于1 , 一根大于0小于1,可分别作为椭圆和双曲线的离心率,正确；设定圆的方程为，定点，设，由，得，消去参数，得，即动点的轨迹为圆，错误.由，得，则，如图：过作垂直于轴的直线，交椭圆于，过斜率为的直线与椭圆交于，当在椭圆弧上上时，符合题意， 又，当在椭圆弧上时，直线 的斜率的取值范围是 ，当在椭圆弧上时， 直线的斜率的取值范围是，即满足直线的斜率大于，直线的斜率的取值范围是正确，综上可知正确命题个数为3，故选C.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查回归方程的意义、椭圆与双曲线的离心率、动点的轨迹以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.这种题型
12、综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.第卷（非选择题 共90分）注意事项：1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效.二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)13. 我国古代数学算经十书之一九章算术有一衰分问题（即分层抽样问题）：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人.凡三乡，发役
13、五百人，则北乡遣_人.【答案】【解析】【分析】根据分层抽样原理计算抽样比例，从而求出北乡应遣人数【详解】解：根据分层抽样原理，抽样比例为，北乡应遣（人故答案为：【点睛】本题考查了分层抽样方法应用问题，属于基础题14. 双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】【分析】首先将双曲线方程化为标准式，再只需要令其右边为0即可求双曲线的渐近线方程【详解】解：因为，所以所以，解得故双曲线的渐近线方程为故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质，利用方程右边为0得渐近线方程是解题的关键，属于基础题15. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，且，若，则_.【答案】【解析】【分析】分别过
14、、作准线的垂线，利用抛物线定义将、到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知即可得到.【详解】作、垂直准线于点、，则，又，得 ，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，掌握定义是解题的关键，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16. 已知椭圆的离心率为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点关于原点的对称点为，设直线的斜率为，则的值为_.【答案】【解析】【分析】设，则，求得，由题意可得，则椭圆的方程可化为，采用点差法即可求得答案【详解】解：设，则，椭圆的离心率，又，椭圆的方程可化为，直线与椭圆交于两点，作差得，即，故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，考查点差法求斜率，考查计算
15、能力，属于中档题三、解答题：(17题10分，其余每小题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 先后抛掷一枚骰子两次，将出现的点数分别记为.（1）设向量，求的概率；（2）求在点数之和不大于5的条件下，中至少有一个为2的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】首先求出先后抛掷一枚骰子两次包含的基本事件个数.（1）利用向量数量积的坐标运算可得，再求出满足条件的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）列出点数之和不大于5的基本事件个数，再列出中至少有一个为2的基本事件个数，利用条件概率计算公式即可求解.【详解】解：先后抛掷一枚骰子两次，“将出现的点数分别
16、记为”包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(6，5)，(6，6)，共36个.（1）记“向量，且”为事件，由得：，从而事件包含共3个基本事件，故.（2）设“点数之和不大于5”为事件，包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件；设“中至少有一个为2”为事件，包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件，故“在点数之和不大于5的条件下，中至少有一个为2” 的概率：.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式
17、、条件概率计算公式、列举法求基本事件个数，属于基础题.18. 已知圆，（1）求实数的取值范围；（2）若直线与圆相交于两点，且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将圆配凑成标准方程，利用，解出即可（2）设出直线，联立方程，利用韦达定理求出，再计算出，由，即，解出即可详解】解：（1）配方得,所以,即.（2）设，所以，由得，因为直线与圆相交于两点,所以,即.易得，从而由得，解得，满足且，所以的值为.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理及运算能力，属于基础题19. 已知高中学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，在一次考试中某班7名学生的数学成绩与物理成绩如下表：数学成
18、绩888311792108100112物理成绩949110896104101106（1）求这7名学生的数学成绩的极差和物理成绩的平均数；（2）求物理成绩对数学成绩的线性回归方程；若某位学生的数学成绩为110分，试预测他的物理成绩是多少？下列公式与数据可供参考：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：，；，.【答案】（1）极差是34分，平均数为100分；（2），105分【解析】【分析】（1）根据极差和平均值的定义计算可得答案；（2）根据公式计算出和，代入即可得到回归方程，将代入回归方程可得答案.【详解】（1）7名学生的数学成绩的最大值为分，最小值为分，所以7名学生的数学成绩的极差是34分；7名学生
19、的物理成绩的平均数为100分.（2）数学成绩的平均分为，物理成绩的平均分为，从而关于的线性回归方程为当时，即当他数学成绩为110分时，预测他物理成绩为105分.【点睛】本题考查了求极差、平均数，回归直线方程，属于基础题.20. 某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费，超出立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当时，估计该市居
20、民该月的人均水费【答案】（）3；（）10.5元.【解析】试题分析：（1）根据水量的频率分布直方图知月用水量不超过立方米的居民占，所以至少定为；（2）直接求每个数据用该组区间的右端点值与各组频率的乘积之和即可.试题解析：（1）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间内的频率依次为所以该月用水量不超过立方米的居民占，用水量不超过立方米的居民占依题意，至少定为（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：（元）考点：1、频率分布
21、直方图的应用；2、根据频率分布直方图求平均值.21. 在平面直角坐标系内，已知点，圆的方程为，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）过点能否作一条直线，与点的轨迹交于两点，且点为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）能，.【解析】【分析】（1）由题意，.由椭圆的定义可得的轨迹方程；（2）当直线的斜率不存在时，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入的轨迹方程. 设点，由点为线段的中点，可得，可求，即求直线的方程.【详解】（1）连接，由题意，.又点在圆内，.根据椭圆的定义，点的轨迹是
22、以为焦点，4为实轴长的椭圆.其中，所以的轨迹方程为.（2）易知当直线的斜率不存在时，不符合题意.设经过点的直线的方程为，即把代入轨迹方程，得 设点，则，解得此时方程为，方程根的判别式为，所以方程有实数解.所以直线的方程为.【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题.22. 过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于、两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）点是抛物线上异于、的任意一点，直线、与抛物线的准线分别交于点、，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，设直线，与抛物线方程联立，再利用抛物线定义，由求解.（2）设，得到直线，令，得到，再根据点均在抛物线上 ，将，代入化简得到，同理可得点的纵坐标为，然后由数量积坐标运算求解.【详解】（1）由题意知，则直线，代入抛物线，化简得，设，则，因抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，故抛物线方程为.（2）设，则直线， 当时， 点均在抛物线上 ，即点的纵坐标为，同理可得点的纵坐标为，由（1）知，为定值.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系，焦点弦以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
