1、3.1 回归分析的基本思想 及其初步应用 （第一课时）1通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用 2让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用，通过使用转化后的数据，求相关指数，运用相关指数进行数据分析、处理的方法 3从实际问题中发现已有知识的不足，激发好奇心，求知欲，通过寻求有效的数据处理方法，开拓学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力，通过案例的分析使学生了解回归分析在实际生活中的应用，增强数学取之生活，用于生活的意识，提高学习兴趣 本节课通过必修3熟悉有例题回顾线性相关关系知识，通过实际问题中发现已有知识的不足，
2、引出随机误差、残差、残差分析的概念，进而运用残差来进行数据分析，通过例题讲解掌握用残差分析判断线性回归模型的拟合效果。掌握建立回归模型的步骤。本节内容学生内容不易掌握，通过知识整理与比较引导学生进行区分、理解。通过对典型案例的探究，练习进行巩固了解回归分析的基本思想方法和初步应用 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：怎样根据一名女大学生的身高预报她的体重，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重？编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359niii 1n2ii 1baybx.xxyyxx$根
3、据必修3 2.3变量相关关系解决这个问题的方法：1.先判断是两个变量是否具有线性相关关系(1)作散点图，如图所示(见课本P82：图3.1-1)2.根据线性回归的系数公式，求回归直线方程 0.849x-85.712 y$3.由线性回归方程可以估计其位置值为 60.316(千克)左右。y$具有较好的线性相关关系 性质：回归直线一定过样本中心点.(2)计算相关系数 这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x与y之间的关系，y 的值不能完全由x 确定，它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差 因此,在统计学中设它们的线性回归模型为:ybxae其中a,b为模型的未知参数,e
4、为y与bx+a之间的误差，称它为随机误差，它是随机变量。且 2E e0,D e 线性回归模型完整表达式为 2ybxaeE e0,D e,，x称为 变量,y称为 变量.解释 预报 线性回归模型中随机误差的主要来源:线性回归模型中的预报值 与真实情况y引起的误差；观测与计算(用 代替b a)产生的误差；省略了一些因素的影响(如生活习惯等）产生的误差.y$ba$在线性回归模型中，e为用bx+a的预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差？在实际应用中，我们用 估计bx+a ybxa$ey-bxa所以 的估计量为 eyy$iix,yi1,2,3,nL对于样本点 iiieyb
5、xai1,2,3,nLiiiiieyyybxan1,2,3,n$L它们的随机误差为 估计值为 称相应于点 的残差 iiiex,y坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。错误数据 模型问题 身高与体重残差图异常点残差的作用 1.通过残差表或残差图发现原始数据中的可疑数据 残差-4000-20000200040006000024681012残差通过残差 来判断模型拟合的效果这种分析工作称为残差分析.1,2,3,.ne e ee通过残差表或残差图判断模型拟合的效果是直观判断，如何精确判断模型拟合的效果？引
6、入参数R2 n2ii2i 1n2ii 1yyR1yy$n2ii 1yy来精确该画模型拟合效果 n2iii 1yy$对于己获取的样本数据，在上式子中 是定值，越小，即残差平方和越小，R2越大，说明模型拟合效果越好。引入例中参数R2计算得约为0.64说明女大学生体重差异有百分之六十四是由身高引起的.知识点 线性回归分析 1.对线性回归模型的三点说明(1)非确定性关系：线性回归模型y=bx+a+e与确定性函数y=bx+a相比，它表示y与x之间是统计相关关系(非确定性关系),其中的随机误差e提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a，b的工具.(2)线性回归方程 中 ，的意义是：以 为
7、基数，x每增加1个单位，y相应地平均增加 个单位.(3)线性回归模型中随机误差的主要来源 线性回归模型与真实情况引起的误差；观测与计算产生的误差；省略了一些因素的影响产生的误差.ybxa$b$a$a$b$2.线性回归模型的模拟效果(1)残差图法:观察残差图,如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高.(2)残差的平方和法:一般情况下,比较两个模型的残差比较困难(某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小,而另一些样本点的情况则相反),故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果.
8、残差平方和越小的模型,拟合的效果越好.(3)R2法:R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合的效果越好.3.相关系数与R2(1)R2是相关系数的平方,其变化范围为0,1,而相关系数的变化范围为-1,1.(2)相关系数可较好地反映变量的相关性及正相关或负相关,而R2反映了回归模型拟合数据的效果.(3)当|r|接近于1时说明两变量的相关性较强,当|r|接近于0时说明两变量的相关性较弱,而当R2接近于1时,说明线性回归方程的拟合效果较好.【微思考】(1)残差与我们平时说的误差是一回事儿吗?提示:这两个概念在某程度上具有很大的相似性,都是衡量不确定性的指标,二者的区别是:误差与测量有关,误差
9、可以衡量测量的准确性,误差越大表示测量越不准确;残差与预测有关,残差大小可以衡量预测的准确性,残差越大表示预测越不准确.(2)R2与原来学过的相关系数r有区别吗?提示:它们都是刻画两个变量之间的的相关关系的,区别是R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率,其表达式为R2=1-;相关系数r是检验两个变量相关性的强弱程度,其表达式为 n2iii 1n2ii 1yyyy$nniiiii 1i 1nnnn222222iiiii 1i 1i 1i 1xx yyx ynx yr.xxyy(xnx)(yny)建立回归模型的基本步骤(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量(2)画出确定好的
10、解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8(1)作出散点图并求线性回归方程；(2)求出R2；(3
11、)进行残差分析 作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明：(1)散点图；(2)相关指数；(3)残差图中的异常点和样本点的带状分布区域的宽窄 解答(1)散点图如图 x16(51015202530)17.5，y16(7.258.128.959.9010.911.8)9.487，i16x2i2 275，i16xiyi1 076.20.05 0.005 0.08 0.045 0.04 0.025 2.24 1.37 0.54 0.41 1.41 2.31 计算得，b0.183，a6.285，所求回归直线方程为y0.183x6.285.(2)列表如下：yiyiyi y所以i16(yiyi)20.013
12、18，i16(yi y)214.678 4.所以，R210.013 1814.678 40.999 1，回归模型的拟合效果较好(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系 规律方法 当资料点较少时，也可以利用残差表进行残差分析，注意计算数据要认真细心，残差分析要全面 1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)残差平方和越小,线性回归方程拟合效
13、果越好.()(2)在画两个变量的散点图时,预报变量在x轴上,解释变量在y轴上.()(3)R2越接近于1,线性回归方程的拟合效果越好.()2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系为 .(2)在残差分析中,残差图的纵坐标为 .(3)如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上,则残差平方和等于 ,解释变量和预报变量之间的相关系数R等于 .正相关 残差 0 1或-1 3.已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 求y对x的回归直线方程，并说明
14、回归模型拟合效果的好坏 解 x15(1416182022)18，y15(1210753)7.4，i15x2i1421621822022221 660，i15xiyi14121610187205223620，所以bi15xiyi5 x yi15x2i5 x26205187.41 6605182 1.15.a7.41.151828.1，所以所求回归直线方程是：y1.15x28.1.列出残差表：0 0.3 0.4 0.1 0.2 4.6 2.6 0.4 2.4 4.4 yiyiyi y所以，i15(yiyi)20.3，i15(yi y)253.2，R21i15yiyi2i15yi y20.994，所以回归模型的拟合效果很好线性相关系数的具体计算公式为：rni1（xix）（yiy）ni1（xix）2ni1（yiy）2.当 r0 时，表明两个变量正相关；当 r0 时，表明两个变量负相关；|r|越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于 0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系通常，当 r 的绝对值大于 0.75 时，我们认为两个变量存在着很强的线性相关关系
