1、第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布理概率文(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得一张,事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是 ()A对立事件 B不可能事件C互斥但不对立事件 D以上答案均不对解析:四张纸牌分发给四人,每人一张,甲和乙不可能同时分得梅花,所以是互斥事件,但也有可能丙或丁分得梅花,故不是对立事件答案:C2有四个游戏盘,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖,小明希望中奖,他应当选择的游戏盘为 ()解析:A游
2、戏盘的中奖概率为,B游戏盘的中奖概率为,C游戏盘的中奖概率为,D游戏盘的中奖概率为 ,A游戏盘的中奖概率最大答案:A3理某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为 ()A14 B24 C28 D48解析:法一:4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况,故不同的选派方案种数为CCCC241614.法二:从4男2女中选4人共有C种选法,4名都是男生的选法有C种,故至少有1名女生的选派方案种数为CC15114.答案:A文在ABC中,D是BC的中点,向ABC内任投一点那么点落在ABD内的概为()A.B. C. D.解析:因为D是B
3、C的中点,所以SABDSABC,所以点落在ABD内的概率为.答案:B4理(2009辽宁高考)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有 ()A70种 B80种 C100种 D140种解析:分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类,从而组队方案共有:CCCC70种答案:A文两个骰子的点数分别为b、c,则方程x2bxc0有两个实根的概率为 ()A. B. C. D.解析:共有36个结果,方程有解,则b24c0,b24c,满足条件的数记为(b2,4c),共有(4,4),(9,4),(9,8),(16,4),(16,8),(16,12),(16,1
4、6),(25,4),(25,8),(25,12),(25,16),(25,20),(25,24),(36,4),(36,8),(36,12),(36,16),(36,20),(36,24),19个结果,P.答案:C5理(2009重庆高考)8的展开式中x4的系数是 ()A16 B70 C560 D1 120解析:由二项展开式通项公式得Tk1C(x2)8kk2kCx163k.由163k4,得k4,则x4的系数为24C1 120.答案:D文某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆带走站上的所有乘客),乘客到达汽车站的时间是任意的,则乘客候车时间不超过3分钟的概率为 ()A. B. C. D.解
5、析:P.答案:B6若A、B为一对对立事件,其概率分别为P(A),P(B),则xy的最小值为()A9 B10 C6 D8解析:由已知得1(x0,y0),xy(xy)()5()9.答案:A7理从数字0,1,2,3,5,7,8,11中任取3个分别作为AxByC0中的A,B,C(A,B,C互不相等)的值,所得直线恰好经过原点的概率为 ()A. B. C. D.解析:P.答案:B文一块各面均涂有油漆的正方体被据成1 000个大小相同的小正方体,若将这些小正方体均匀地搅混在一起,则任意取出一个,其两面涂有油漆的概率是 ()A. B. C. D.解析:每条棱上有8块,共81296块概率为.答案:D8在区域内
6、任取一点P,则点P落在单位圆x2y21内的概率为() A. B. C. D.解析:区域为ABC内部(含边界),则概率为P=答案:D9理在(x2)n的展开式中,常数项为15,则n ()A3 B4 C5 D6解析:对于二项式的展开式问题,关键要考虑通项,第k1项Tk1C ()kC应有2n3k0,n,而n是正整数,故k2,4,6.结合题目给的已知条件,常数项为15,验证可知k4,n6.答案:D文已知直线yxb的横截距在2,3范围内,则直线在y轴上的截距b大于1的概率是 () A. B. C. D. 解析:P.答案:A10理用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶
7、性不同,且1和2相邻,这样的六位数的个数是 ()A40 B60 C80 D10解析:若个位数是偶数,当2在个位时,则1在十位,共有AA4(个),当2不在个位时,共有AAAA16(个),所以若个位是偶数,有41620个六位数同理,若个位数是奇数,有20个满足条件的六位数,因此,这样的六位数的个数是40.答案:A文若书架上放有中文书5本,英文书3本,日文书2本,由书架上抽出一本外文书的概率为 ()A. B. C. D.解析:P.答案:D11理口袋中有4个白球,n个红球,从中随机地摸出两个球,这两个球颜色相同的概率大于0.6,则n的最小值为 ()A13 B14 C15 D16解析:由已知条件可得0.
8、6, 解之得n12或n90时的概率为.解析:P=答案:15理(2010安徽师大附中模拟)a (sinxcosx)dx则二项式(a)6展开式中含x2的项的系数是_解析:a (sinxcosx)dx(sinxcosx)(sincos)(sin0cos0)(01)(01)2.又Tr1C(a) ()rC (1)rx()C (1)r.由3r2,解r1,x2项的系数为Ca5192.答案:192文如图所示,a,b,c,d是四处处于断开状态的开关,任意将其中两个闭合,则电路被接通的概率为.解析:上个开关任意闭合2个,有ab、ac、ad、bc、bd共6种方案, 电路被接通的条件是:开关d必须闭合;开关a,b,c
9、中有一个闭合即电路被接通有ad、bd和cd共3种方案,所以所求的概率是答案:16已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mxy0,若m在集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任意取一个值,使得双曲线的离心率大于3的概率是_解析:由题意知m,e,仅当m1或2时,1e3时的概率P.答案:三、解答题(本大题共6小题,共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)设A(x,y)|1x6,1y6,x,yN*(1)求从A中任取一个元素是(1,2)的概率;(2)从A中任取一个元素,求xy10的概率;(3)理设Y为随机变量,Yxy,求E(Y)解:(1)设从A中任取
10、一个元素是(1,2)的事件为B,则P(B),所以从A中任取一个元素是(1,2)的概率为.(2)设从A中任取一个元素,xy10的事件为C,则有(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)共6种情况,于是P(C),所以从A中任取一个元素,xy10的概率为.(3)理Y可能取的值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.P(Y2),P(Y3),P(Y4), P(Y5),P(Y6),P(Y7),P(Y8),P(Y9),P(Y10), P(Y11),P(Y12).则E(Y)234567891011127.18(本小题满分12分)如图,已知AB是半圆O的直径,AB8,M、
11、N、 P是将半圆圆周四等分的三个分点(1)从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点,求这3个点组成直角三角形的概率;(2)在半圆内任取一点S,求三角形SAB的面积大于8的概率解:(1)从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点,一共可以组成10个三角形:ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP,其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP 3个,所以这3个点组成直角三角形的概率P.(2)连结MP,取线段MP的中点D,则ODMP,易求得OD2,当S点在线段MP上时,SABS=28=8,所以只有当S点落在阴影部分时,三角形SAB面积才能大于8,而S阴影=S扇形O
12、MP-SOMP=42-42=4-8,所以由几何概型公式得三角形SAB的面积大于8的概率P=19理(本小题满分12分)某车间准备从10名工人中选配4人到某生产线工作,为了安全生产,工厂规定:一条生产线上熟练工人数不得少于3人已知这10名工人中有熟练工8名,学徒工2名(1)求工人的配置合理的概率;(2)为了督促其安全生产,工厂安全生产部门每月对工人的配备情况进行两次抽检,求两次检验得到的结果不一致的概率解:(1)一条生产线上熟练工人数不得少于3人有CCC种选法工人的配置合理的概率.(2)两次检验是相互独立的,可视为独立重复试验,因两次检验得出工人的配置合理的概率均为,故“两次检验得出的结果不一致”
13、即两次检验中恰有一次是合格的概率为C(1).文(本小题满分12分)投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面中,有两个面标的数字是0,两个面标的数字是2,两个面标的数字是4,将此玩具连续抛掷两次,以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标(1)求点P落在区域C:x2y210内的概率;(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M,在区域C上随机撒一粒豆子,求豆子落在区域M上的概率解:(1)点P的坐标有:(0,0),(0,2),(0,4),(2,0),(2,2),(2,4),(4,0), (4,2),(4,4),共9种,其中落在区域C:x2+y210
14、上的点P的坐标有:(0,0),(0,2),(2,0),(2,2),共4种故点P落在区域C:x2+y210内 的概率为.(2)区域M为一边长为2的正方形,其面积为4,区域C的面积为10,则豆子落在区域M上的概率为.20理(本小题满分12分)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃,要求同一区域上用同一种颜色的鲜花,相邻区域使用不同颜色的鲜花.(1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率;(2)记花圃中红色鲜花区域的块数为X,求X的分布列及其数学期望解:(1)设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”,如图,当区域A、D同色时,共有54313180种;当区域A、D不同色时,共有54322240
15、种;ABCE D 因此,所有基本事件总数为:180240420种它们是等可能的又因为A、D为红色时,共有43336种;B、E为红色时,共有43336种;因此,事件M包含的基本事件有:363672种所以,恰有两个区域用红色鲜花的概率P(M).(2)随机变量X的取值分别为0,1,2.则当X0时,用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色,若A、D为同色时,共有4321248种;若A、D为不同色时,共有4321124种;即X0所包含的基本事件有482472种,所以P(X0);由第(1)问得P(X2);所以P(X1)1.从而随机变量X的分布列为:X012P所以,E(X)0121.文(本小题满分12分)在一个盒子中
16、,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y,记z|x2|yx|.求z的所有可能的取值,并求出z取相应值时的概率解:z的所有可能取值为0,1,2,3.当z0时,只有x2,y2这一种情况,当z1时,有x1,y1或x2,y1或x2,y3或x3,y3四种情况,当z2时,有x1,y2或x3,y2两种情况,当z3时,有x1,y3或x3,y1两种情况,有放回地抽两张卡片的所有情况有9种P(z0),P(z1),P(z2),P(z3).21理(本小题满分12分)(2009陕西高考)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示据统计,随机变量X的概率分布如列下:
17、(1)求a的值和X的数学期望;(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.X0123P0.10.32aa解:(1)由概率分布的性质有0.10.32aa1,解得a0.2.X的概率分布列为X0123P0.10.30.40.2E(X)00.110.320.430.21.7.(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”;事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次,另外一个月被投诉0次”;事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”则由事件的独立性得P(A1)CP(X2)P(X0)20.40.10.08,P(A2)P(X1)20.320.09,P(A)P(
18、A1)P(A2)0.080.090.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.文(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢(1)若以A表示和为6的事件,求P(A);(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是否为互斥事件?为什么?(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由解:(1)基本事件空间与点集S(x,y)|xN*,yN*,1x5,1y5中的元素一一对应因为S中点的总数为5525(个),所以基本事件总数为n25.事件A包含的基本事件数共5个:(1,5)、(2,4)、(3,3)、
19、(4,2)、(5,1),所以P(A).(2)B与C不是互斥事件,因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次(3)这种游戏规则不公平由(1)知和为偶数的基本事件为13个,所以甲赢的概率为,乙赢的概率为,所以这种游戏规则不公平22理(本小题满分14分)一个口袋里有2个红球和4个黄球,从中随机地连取3个球,每次取一个,记事件A“恰有一个红球”,事件B“第3个是红球”求:(1)不放回时,事件A、B的概率;(2)每次抽后放回时,A、B的概率解:(1)由不放回抽样可知,第一次从6个球中取一个,第二次只能从5个球中取一个,第三次从4个球中取一个,基本事件共654120个,又事件A中含有基本事件3243
20、72个,(第一个是红球,则第2,3个是黄球,取法有243种,第2个是红球和第3个是红球取法一样多),P(A).第3次取到红球对前两次没有什么要求,因为红球数占总球数的,每一次取到都是随机地等可能事件,P(B).(2)由放回抽样知,每次都是从6个球中取一个,有取法63216种,事件A含基本事件324496种P(A).第三次抽到红球包括B1红,黄,红,B2黄,黄,红,B3黄,红,红,B4红,红,红四种两两互斥的情形,P(B1),P(B2),P(B3),P(B4),P(B)P(B1)P(B2)P(B3)P(B4).文(本小题满分14分)一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个
21、面上分别标有1,2,3,4这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字(1)若抛掷一次,求能看到的三个面上数字之和大于6的概率;(2)若抛掷两次,求两次朝下面上的数字之积大于7的概率;(3)若抛掷两次,以第一次朝下面上的数字为横坐标a,第二次朝下面上的数字为纵坐标b,求点(a,b)落在直线xy1下方的概率解:(1)记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A,抛掷这颗正四面体骰子,抛掷后能看到的数字构成的集合有2,3,4,1,3,4,1,2,4,1,2,3,共有4种情形,其中,能看到的三面数字之和大于6的有3种,则P(A).(2)记事件“抛掷两次,两次朝下面上的数字之积大于7”为B,两次朝下面上的数字构成的数对共有16种情况,其中能够使得数字之积大于7的为(2,4),(4,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共6种,则P(B).(3)记事件“抛掷后点(a,b)在直线xy1的下方”为C,要使点(a,b)在直线xy1的下方,则需ba1,当b1时,a3或4;当b2时,a4.则所求的概率P(C).