1、第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布理概率文(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是 ()A对立事件 B不可能事件C互斥但不对立事件 D以上答案均不对解析：四张纸牌分发给四人，每人一张，甲和乙不可能同时分得梅花，所以是互斥事件，但也有可能丙或丁分得梅花，故不是对立事件答案：C2有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为 ()解析：A游
2、戏盘的中奖概率为，B游戏盘的中奖概率为，C游戏盘的中奖概率为，D游戏盘的中奖概率为 ，A游戏盘的中奖概率最大答案：A3理某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ()A14 B24 C28 D48解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为CCCC241614.法二：从4男2女中选4人共有C种选法，4名都是男生的选法有C种，故至少有1名女生的选派方案种数为CC15114.答案：A文在ABC中，D是BC的中点，向ABC内任投一点那么点落在ABD内的概为()A.B. C. D.解析：因为D是B
3、C的中点，所以SABDSABC，所以点落在ABD内的概率为.答案：B4理(2009辽宁高考)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ()A70种 B80种 C100种 D140种解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：CCCC70种答案：A文两个骰子的点数分别为b、c，则方程x2bxc0有两个实根的概率为 ()A. B. C. D.解析：共有36个结果，方程有解，则b24c0，b24c，满足条件的数记为(b2,4c)，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,1
4、6)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24),19个结果，P.答案：C5理(2009重庆高考)8的展开式中x4的系数是 ()A16 B70 C560 D1 120解析：由二项展开式通项公式得Tk1C(x2)8kk2kCx163k.由163k4，得k4，则x4的系数为24C1 120.答案：D文某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆带走站上的所有乘客)，乘客到达汽车站的时间是任意的，则乘客候车时间不超过3分钟的概率为 ()A. B. C. D.解
5、析：P.答案：B6若A、B为一对对立事件，其概率分别为P(A)，P(B)，则xy的最小值为()A9 B10 C6 D8解析：由已知得1(x0，y0)，xy(xy)()5()9.答案：A7理从数字0,1,2,3,5,7,8,11中任取3个分别作为AxByC0中的A，B，C(A，B，C互不相等)的值，所得直线恰好经过原点的概率为 ()A. B. C. D.解析：P.答案：B文一块各面均涂有油漆的正方体被据成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是 ()A. B. C. D.解析：每条棱上有8块，共81296块概率为.答案：D8在区域内
6、任取一点P，则点P落在单位圆x2y21内的概率为() A. B. C. D.解析：区域为ABC内部(含边界)，则概率为P=答案：D9理在(x2)n的展开式中，常数项为15，则n ()A3 B4 C5 D6解析：对于二项式的展开式问题，关键要考虑通项，第k1项Tk1C ()kC应有2n3k0，n，而n是正整数，故k2,4,6.结合题目给的已知条件，常数项为15，验证可知k4，n6.答案：D文已知直线yxb的横截距在2,3范围内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是 () A. B. C. D. 解析：P.答案：A10理用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶
7、性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 ()A40 B60 C80 D10解析：若个位数是偶数，当2在个位时，则1在十位，共有AA4(个)，当2不在个位时，共有AAAA16(个)，所以若个位是偶数，有41620个六位数同理，若个位数是奇数，有20个满足条件的六位数，因此，这样的六位数的个数是40.答案：A文若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为 ()A. B. C. D.解析：P.答案：D11理口袋中有4个白球，n个红球，从中随机地摸出两个球，这两个球颜色相同的概率大于0.6，则n的最小值为 ()A13 B14 C15 D16解析：由已知条件可得0.
8、6， 解之得n12或n90时的概率为.解析：P=答案：15理(2010安徽师大附中模拟)a (sinxcosx)dx则二项式(a)6展开式中含x2的项的系数是_解析：a (sinxcosx)dx(sinxcosx)(sincos)(sin0cos0)(01)(01)2.又Tr1C(a) ()rC (1)rx()C (1)r.由3r2，解r1，x2项的系数为Ca5192.答案：192文如图所示，a，b，c，d是四处处于断开状态的开关，任意将其中两个闭合，则电路被接通的概率为.解析：上个开关任意闭合2个，有ab、ac、ad、bc、bd共6种方案， 电路被接通的条件是：开关d必须闭合；开关a，b，c
9、中有一个闭合即电路被接通有ad、bd和cd共3种方案，所以所求的概率是答案：16已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mxy0，若m在集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是_解析：由题意知m，e，仅当m1或2时，1e3时的概率P.答案：三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)设A(x，y)|1x6,1y6，x，yN*(1)求从A中任取一个元素是(1,2)的概率；(2)从A中任取一个元素，求xy10的概率；(3)理设Y为随机变量，Yxy，求E(Y)解：(1)设从A中任取
10、一个元素是(1,2)的事件为B，则P(B)，所以从A中任取一个元素是(1,2)的概率为.(2)设从A中任取一个元素，xy10的事件为C，则有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)共6种情况，于是P(C)，所以从A中任取一个元素，xy10的概率为.(3)理Y可能取的值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.P(Y2)，P(Y3)，P(Y4)， P(Y5)，P(Y6)，P(Y7)，P(Y8)，P(Y9)，P(Y10)， P(Y11)，P(Y12).则E(Y)234567891011127.18(本小题满分12分)如图，已知AB是半圆O的直径，AB8，M、
11、N、 P是将半圆圆周四等分的三个分点(1)从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S，求三角形SAB的面积大于8的概率解：(1)从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP 3个，所以这3个点组成直角三角形的概率P.(2)连结MP，取线段MP的中点D，则ODMP，易求得OD2，当S点在线段MP上时，SABS=28=8，所以只有当S点落在阴影部分时，三角形SAB面积才能大于8，而S阴影=S扇形O
12、MP-SOMP=42-42=4-8，所以由几何概型公式得三角形SAB的面积大于8的概率P=19理(本小题满分12分)某车间准备从10名工人中选配4人到某生产线工作，为了安全生产，工厂规定：一条生产线上熟练工人数不得少于3人已知这10名工人中有熟练工8名，学徒工2名(1)求工人的配置合理的概率；(2)为了督促其安全生产，工厂安全生产部门每月对工人的配备情况进行两次抽检，求两次检验得到的结果不一致的概率解：(1)一条生产线上熟练工人数不得少于3人有CCC种选法工人的配置合理的概率.(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出工人的配置合理的概率均为，故“两次检验得出的结果不一致”
13、即两次检验中恰有一次是合格的概率为C(1).文(本小题满分12分)投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标(1)求点P落在区域C：x2y210内的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)， (4,2)，(4,4)，共9种，其中落在区域C：x2+y210
14、上的点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4种故点P落在区域C：x2+y210内 的概率为.(2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10，则豆子落在区域M上的概率为.20理(本小题满分12分)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花.(1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；(2)记花圃中红色鲜花区域的块数为X，求X的分布列及其数学期望解：(1)设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图，当区域A、D同色时，共有54313180种；当区域A、D不同色时，共有54322240
15、种；ABCE D 因此，所有基本事件总数为：180240420种它们是等可能的又因为A、D为红色时，共有43336种；B、E为红色时，共有43336种；因此，事件M包含的基本事件有：363672种所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率P(M).(2)随机变量X的取值分别为0,1,2.则当X0时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色，若A、D为同色时，共有4321248种；若A、D为不同色时，共有4321124种；即X0所包含的基本事件有482472种，所以P(X0)；由第(1)问得P(X2)；所以P(X1)1.从而随机变量X的分布列为：X012P所以，E(X)0121.文(本小题满分12分)在一个盒子中
16、，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记z|x2|yx|.求z的所有可能的取值，并求出z取相应值时的概率解：z的所有可能取值为0,1,2,3.当z0时，只有x2，y2这一种情况，当z1时，有x1，y1或x2，y1或x2，y3或x3，y3四种情况，当z2时，有x1，y2或x3，y2两种情况，当z3时，有x1，y3或x3，y1两种情况，有放回地抽两张卡片的所有情况有9种P(z0)，P(z1)，P(z2)，P(z3).21理(本小题满分12分)(2009陕西高考)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示据统计，随机变量X的概率分布如列下：
17、(1)求a的值和X的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.X0123P0.10.32aa解：(1)由概率分布的性质有0.10.32aa1，解得a0.2.X的概率分布列为X0123P0.10.30.40.2E(X)00.110.320.430.21.7.(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”则由事件的独立性得P(A1)CP(X2)P(X0)20.40.10.08，P(A2)P(X1)20.320.09，P(A)P(
18、A1)P(A2)0.080.090.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.文(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由解：(1)基本事件空间与点集S(x，y)|xN*，yN*,1x5,1y5中的元素一一对应因为S中点的总数为5525(个)，所以基本事件总数为n25.事件A包含的基本事件数共5个：(1,5)、(2,4)、(3,3)、
19、(4,2)、(5,1)，所以P(A).(2)B与C不是互斥事件，因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次(3)这种游戏规则不公平由(1)知和为偶数的基本事件为13个，所以甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以这种游戏规则不公平22理(本小题满分14分)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A“恰有一个红球”，事件B“第3个是红球”求：(1)不放回时，事件A、B的概率；(2)每次抽后放回时，A、B的概率解：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中取一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共654120个，又事件A中含有基本事件3243
20、72个，(第一个是红球，则第2,3个是黄球，取法有243种，第2个是红球和第3个是红球取法一样多)，P(A).第3次取到红球对前两次没有什么要求，因为红球数占总球数的，每一次取到都是随机地等可能事件，P(B).(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中取一个，有取法63216种，事件A含基本事件324496种P(A).第三次抽到红球包括B1红，黄，红，B2黄，黄，红，B3黄，红，红，B4红，红，红四种两两互斥的情形，P(B1)，P(B2)，P(B3)，P(B4)，P(B)P(B1)P(B2)P(B3)P(B4).文(本小题满分14分)一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个
21、面上分别标有1,2,3,4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字(1)若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率；(2)若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率；(3)若抛掷两次，以第一次朝下面上的数字为横坐标a，第二次朝下面上的数字为纵坐标b，求点(a，b)落在直线xy1下方的概率解：(1)记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A，抛掷这颗正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有2,3,4，1,3,4，1,2,4，1,2,3，共有4种情形，其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则P(A).(2)记事件“抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于7”为B，两次朝下面上的数字构成的数对共有16种情况，其中能够使得数字之积大于7的为(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)共6种，则P(B).(3)记事件“抛掷后点(a，b)在直线xy1的下方”为C，要使点(a，b)在直线xy1的下方，则需ba1，当b1时，a3或4；当b2时，a4.则所求的概率P(C).