1、第二节平面向量基本定理及坐标表示最新考纲考情分析核心素养1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.平面向量基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示及其应用仍是2021年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.1.数学运算2.逻辑推理知识梳理1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的
2、一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a| (2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10常用结论1能作为基底的两个向量必须是不共线的2向量的坐标与点的坐标不同，向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但由于向量的坐标为终点坐标减去起点坐标，故平移后向量的坐标不变3若a(x1，y1)
3、，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y10.基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC中，向量，的夹角为ABC()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(5)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为一组基底的是()Ae1(0，0)，e2(1，2)Be1
4、(1，2)，e2(5，7)Ce1(3，5)，e2(6，10)De1(2，3)，e2答案：B3(必修4P99例8改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为()A(2，2)B(3，1)C(2，2)或(3，1)D(2，2)或(3，1)答案：A三、易错自纠4(2019届安徽示范性高中二模)ABC内一点O满足230，直线AO交BC于点D，则()A230B320C50D50解析：选A因为ABC内一点O满足230，直线AO交BC于点D，所以0.令，则0，所以B，C，E三点共线，A，O，E三点共线，所以D，E重合所以50，所
5、以23223350.故选A5在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4，3)，(1，5)，则_解析：(3，2)，2(6，4)(2，7)，3(6，21)答案：(6，21)6.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_解析：由题意，得().因为M，O，N三点共线， 所以1.所以mn2.答案：2|题组突破|1(2020届惠州调研) 在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么()ABCD解析：选C解法一：因为E是DC的中点，所以.因为F是BC的中点，所以，所以，故选C解法二：如图，连接BD，因为E，F分
6、别是DC，BC的中点，所以()，故选C2直线l与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线AC于点K.若2，3，(R)，则()A2BC3D5解析：选D2，3，()(23).E，F，K三点共线，1，5.故选D3.如图，已知在ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点若mn，则mn()ABCD解析：选B依题意，得()，.mn，m，n，mn.故选B名师点津用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用
7、平面几何的一些性质定理|题组突破|4(2019届福建模拟)已知向量a(2，4)，b(1，1)，则2ab等于()A(5，7)B(5，9)C(3，7)D(3，9)解析：选D2ab2(2，4)(1，1)(3，9)，故选D5已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若，则等于()A2B2C3D3解析：选A如图所示，建立平面直角坐标系xOy，则(1，0)，(2，2)，(1，2)因为，所以(2，2)(1，2)(1，0)(，2)，所以解得所以2.故选A6已知向量a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，则c()A(23，12)B(23，12)C(7，0)D(7，0)解析：选A由题意
8、，得3a2bc3(5，2)2(4，3)(x，y)(23x，12y)(0，0)，所以解得所以c(23，12)名师点津1向量坐标运算的策略(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标(3)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则2向量问题坐标化当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解命题角度一利用两向量共线求参数【例1】(2018年全国卷)已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_解析因为2a
9、b(4，2)，又c(2ab)，所以42，解得.答案命题角度二利用两向量共线求坐标【例2】已知在梯形ABCD中，ABDC，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为_解析在梯形ABCD中，DC2AB，ABDC，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4x，2y)，(1，1)，(4x，2y)2(1，1)，解得故点D的坐标为(2，4)答案(2，4)命题角度三三点共线问题【例3】已知向量(k，12)，(4，5)，(k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()ABCD解析(4k，7)，(2k，2)因为A，B，C三点共线，所以和共线，所以2(4k)7(2k)，解得k.答案
10、A名师点津1向量共线的两种表示形式设a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)abab(b0)；(2)abx1y2x2y10，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用(2)2两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值|跟踪训练|1设向量a(2，4)与向量b(x，6)共线，则实数x()A2B3C4D6解析：选B由向量a(2，4)与向量b(x，6)共线，可得4x26，解得x3.2已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若(R)，且点P在直线x2y0上，则的值为_解析：
11、设P(x，y)，则由，得(x2，y3)(2，2)(5，7)(25，27)，所以x54，y75.又点P在直线x2y0上，故542(75)0，解得.答案：平面向量基本定理及坐标运算常与最值范围创新考查，该类题型命题角度新颖，综合能力强，多为选择、填空的压轴题【例】(2019届重庆一中月考)给定两个单位向量，且，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，xy，则xy的最小值为()AB1C2D0解析由单位向量，且，得AOB.建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A(1，0)，B，即B.设AOC，则(cos ，sin )因为xy，所以所以所以xy(cos sin )2sin cos sin 2sin.因为0，所
12、以，所以sin，所以xy1，2，所以xy的最小值为1，故选B答案B名师点津解决平面向量基本定理及坐标运算与最值范围的创新问题的2种方法(1)临界分析法：即充分利用平面向量的几何定义，结合图形，临界分析，多用到共线问题(2)坐标法：即数形结合，建立恰当的坐标系后，寻求所求量的目标函数，转化为函数的最值问题|跟踪训练|给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120.点C在以点O为圆心的圆弧上移动，若xy，其中x，yR，则xy的最大值是()A3B4C2D8解析：选C建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B(cos 120，sin 120)，即B.设AOC，则(cos ，sin )xy(x，0)(cos ，sin )，xysin cos 2sin(30)0120，3030150，当60时，xy有最大值2，故选C
