1、2015-2016学年广东省东莞市南开实验学校高一（上）期初数学试卷一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分1设集合A=x|（x+1）（x2）0，集合B=x|1x3，则AB=（）Ax|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x32设集合A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，则M中元素的个数为（）A3B4C5D63设全集U是实数集R，M=x|x24，N=x|1x3，则图中阴影部分所表示的集合是（）Ax|2x1Bx|2x2Cx|1x2Dx|x24若函数f（x）=x2+ax+在（，+）上是增函数，则a的取值范围是（）A1，0B1，+）C0，3D3，+）5已知y=f（x
2、），x（a，a），F（x）=f（x）+f（x），则F（x）是（）A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数6函数f（x）在a，b上是增函数，对于任意的x1，x2a，b（x1x2），下列结论中不正确的是（）AB（x1x2）f（x1）f（x2）0Cf（a）f（x1）f（x2）f（b）D7已知函数f（x）的定义域为（1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A（1，1）BC（1，0）D8设偶函数f（x）的定义域为R，当x0，+）时，f（x）是增函数，则f（1），f（），f（3.14）的大小关系是（）Af（）f（3.14）f（1）Bf（）f（1）f（3.14）Cf（）=f（3.14）f（1
3、）Df（）f（1）f（3.14）9设函数g（x）=x22（xR），f（x）=，则f（x）的值域是（）A，0（1，+）B0，+）C，+）D，0（2，+）10已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数且f（x）g（x）=x3+x2+1，则g（1）=（）A3B1C1D311设奇函数f（x）在（0，+）上为减函数，且f（1）=0，则不等式0的解集为（）A（1，0）（1，+）B（，1）（0，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）12已知函数f（x）=x22（a+2）x+a2，g（x）=x2+2（a2）xa2+8设H1（x）=maxf（x），g（x），H2（x）=minf（x），g（x
4、），（maxp，q）表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则AB=（）A16B16C16a22a16D16a2+2a16二填空题：本大题共4题，每题5分，共20分13已知集合A=x|1x2，B=x|xa；若AB，求实数a的取值范围14设函数f（x）满足0 （ x1x2） 且f（m）f（2m1），则实数m的取值范围是15若函数f（x）=为奇函数，则f（g（1）=16设a，b0，a+b=5，则+的最大值为三解答题(共6个小题，共70分）17已知AM=x|x2px+15=0，xR，BN=x|x2axb=0，xR，又AB=2，3，5
5、，AB=3，求实数p、a、b的值18已知集合A=x|2a+1x3a5，B=x|x1或x16，根据下列条件求实数a的取值范围（1）AB=；（2）A（AB）19已知函数f（x）=x2+bx+c满足f（0）=0，且f（1x）=f（x），令g（x）=f（x）|x1|（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数g（x）的最小值20已知f（x）是定义在（0，+）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1（1）求证：f（8）=3（2）求不等式f（x）f（x2）3的解集21已知：f（x）=，x（0，+）（1）若b1，求证：函数f（x）在（0，1）上是减函数；（2）是否存在实数a，b，使f（x
6、）同时满足下列二个条件：在（0，1）上是减函数，（1，+）上是增函数；f（x）的最小值是3，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由22已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），xR，（1）若f（1）=0，且函数f（x）的值域为0，+），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x2，2时，g（x）=f（x）kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m0，n0，m+n0，a0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？2015-2016学年广东省东莞市南开实验学校高一（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分1设集合A
7、=x|（x+1）（x2）0，集合B=x|1x3，则AB=（）Ax|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x3【考点】并集及其运算【分析】求解不等式得出集合A=x|1x2，根据集合的并集可求解答案【解答】解：集合A=x|（x+1）（x2）0，集合B=x|1x3，集合A=x|1x2，AB=x|1x3，故选：A【点评】本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题2设集合A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，则M中元素的个数为（）A3B4C5D6【考点】集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数
8、即可【解答】解：因为集合A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8共4个故选B【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力3设全集U是实数集R，M=x|x24，N=x|1x3，则图中阴影部分所表示的集合是（）Ax|2x1Bx|2x2Cx|1x2Dx|x2【考点】Venn图表达集合的关系及运算【分析】欲求出图中阴影部分所表示的集合，先要弄清楚它表示的集合是什么，由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合
9、M中的元素组成的，即NCUM【解答】解：由图可知，图中阴影部分所表示的集合是NCUM，又CUM=x|x24=x|2x2，NCUM=x|1x2故选：C【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式、不等式的解法等基础知识，属于基础题4若函数f（x）=x2+ax+在（，+）上是增函数，则a的取值范围是（）A1，0B1，+）C0，3D3，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质【分析】求出函数f（x）的导函数，由导函数在（，+）大于等于0恒成立解答案【解答】解：由f（x）=x2+ax+，得f（x）=2x+a=，令g（x）=2x3+ax21，要使函数f（x）=x2+ax+
10、在（，+）是增函数，则g（x）=2x3+ax21在x（，+）大于等于0恒成立，g（x）=6x2+2ax=2x（3x+a），当a=0时，g（x）0，g（x）在R上为增函数，则有g（）0，解得+10，a3（舍）；当a0时，g（x）在（0，+）上为增函数，则g（）0，解得+10，a3；当a0时，同理分析可知，满足函数f（x）=x2+ax+在（，+）是增函数的a的取值范围是a3（舍）故选：D【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，考查了导函数在求解含有参数问题中的应用，是中档题5已知y=f（x），x（a，a），F（x）=f（x）+f（x），则F（x）是（）A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非
11、偶函数【考点】函数单调性的判断与证明【分析】由于F（x）的定义域关于原点对称，且满足F（x）=F（x），可得F（x）是偶函数【解答】解：x（a，a），F（x）=f（x）+f（x），F（x）=f（x）+f（x）=F（x），故F（x）是偶函数，故选B【点评】本题主要考查对数函数的奇偶性的判断方法，属于基础题6函数f（x）在a，b上是增函数，对于任意的x1，x2a，b（x1x2），下列结论中不正确的是（）AB（x1x2）f（x1）f（x2）0Cf（a）f（x1）f（x2）f（b）D【考点】函数单调性的性质【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可【解答】解：f（x）在a，b上是增函数，对于任意的x
12、1，x2a，b（x1x2），则当x1x2时，f（x1）f（x2），此时满足，（x1x2）f（x1）f（x2）0，当x1x2时，f（x1）f（x2），此时满足，（x1x2）f（x1）f（x2）0，故不正确的是C，故选：C【点评】本题主要考查函数单调性的应用，要求熟练掌握函数单调性的几种等价形式7已知函数f（x）的定义域为（1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A（1，1）BC（1，0）D【考点】函数的定义域及其求法【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解【解答】解：原函数的定义域为（1，0），12x+10，解得1x则函数f（2x+1）的定义域为故选B【点评】考查复合函
13、数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题8设偶函数f（x）的定义域为R，当x0，+）时，f（x）是增函数，则f（1），f（），f（3.14）的大小关系是（）Af（）f（3.14）f（1）Bf（）f（1）f（3.14）Cf（）=f（3.14）f（1）Df（）f（1）f（3.14）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】利用函数的单调性以及奇偶性判断求解即可【解答】解：偶函数f（x）的定义域为R，当x0，+）时，f（x）是增函数，f（1）=f（1），f（3.14）=f（3.14），所以，f（）f（3.14）f（1），故选：A【点评】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力9设函数
14、g（x）=x22（xR），f（x）=，则f（x）的值域是（）A，0（1，+）B0，+）C，+）D，0（2，+）【考点】分段函数的应用【分析】当xg（x）时，x2 或x1，f（x）=g（x）+x+4=x22+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，其值域为：（2，+）当xg（x）时，1x2，f（x）=g（x）x=x22x=（x0.5）22.25，其值域为：2.25，0由此能得到函数值域【解答】解：当xg（x），即xx22，（x2）（x+1）0时，x2 或x1，f（x）=g（x）+x+4=x22+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，其最小值为f（1）=2，其最大值为+，因此
15、这个区间的值域为：（2，+）当xg（x）时，1x2，f（x）=g（x）x=x22x=（x0.5）22.25其最小值为f（0.5）=2.25，其最大值为f（2）=0因此这区间的值域为：2.25，0综合得：函数值域为：2.25，0U（2，+），故选D【点评】本题考查f（x）的值域的求法解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用10已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数且f（x）g（x）=x3+x2+1，则g（1）=（）A3B1C1D3【考点】函数奇偶性的性质【分析】由f（x）g（x）=x3+x2+1，利用函数的奇偶性可得f（x）+g（x）=x3+x2+1，即可得出【解答】解：f（
16、x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）=f（x），g（x）=g（x）f（x）g（x）=x3+x2+1，f（x）g（x）=f（x）+g（x）=x3+x2+1，2g（x）=2x3，即g（x）=x3，g（1）=1故选：C【点评】本题考查了函数的奇偶性、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11设奇函数f（x）在（0，+）上为减函数，且f（1）=0，则不等式0的解集为（）A（1，0）（1，+）B（，1）（0，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】不等式即0，即xf（x）0，数形结合可得x的范围【解答】解：奇函数f（x）在（0，+）上
17、为减函数，且f（1）=0，故f（x）的图象如图所示：则不等式0，即0，即xf（x）0，1x0，或 0x1，故选：D【点评】本题主要考查函数的奇偶性的性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题12已知函数f（x）=x22（a+2）x+a2，g（x）=x2+2（a2）xa2+8设H1（x）=maxf（x），g（x），H2（x）=minf（x），g（x），（maxp，q）表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则AB=（）A16B16C16a22a16D16a2+2a16【考点】函数的值域【分析】先作差得到h（x）=f（x）g（x）
18、=2（xa）28分别解出h（x）=0，h（x）0，h（x）0画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）进而得出A，B即可【解答】解：令h（x）=f（x）g（x）=x22（a+2）x+a2x2+2（a2）xa2+8=2x24ax+2a28=2（xa）28由2（xa）28=0，解得x=a2，此时f（x）=g（x）；由h（x）0，解得xa+2，或xa2，此时f（x）g（x）；由h（x）0，解得a2xa+2，此时f（x）g（x）综上可知：（1）当xa2时，则H1（x）=maxf（x），g（x）=f（x）=x（a+2）24a4，H2（x）=minf（x），g（x）=g（x）=x（a2）24a+1
19、2，（2）当a2xa+2时，H1（x）=maxf（x），g（x）=g（x），H2（x）=minf（x），g（x）=f（x）；（3）当xa+2时，则H1（x）=maxf（x），g（x）=f（x），H2（x）=minf（x），g（x）=g（x），故A=g（a+2）=（a+2）（a2）24a+12=4a4，B=g（a2）=4a+12，AB=4a4（4a+12）=16故选：B【点评】熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键二填空题：本大题共4题，每题5分，共20分13已知集合A=x|1x2，B=x|xa；若AB，求实数a的取值范围
20、a|a2【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】通过画图，要使集合B包含集合A，观察图象即可解得【解答】解：结合图象可知，ABa值所对应的点必须要在2的右侧即a2故答案为a|a2【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，属于以不等式为依托，求集合的子集的基础题，也是高考常会考的题型14设函数f（x）满足0 （ x1x2） 且f（m）f（2m1），则实数m的取值范围是（，1）【考点】函数单调性的性质【分析】判断函数的单调性，利用函数的单调性列出不等式求解即可【解答】解：函数f（x）满足0 （ x1x2），可知函数是增函数，f（m）f（2m1），可得m2m1，解得m（，1）故答案为：（，1）
21、【点评】本题考查函数的单调性的判断与应用，考查计算能力15若函数f（x）=为奇函数，则f（g（1）=15【考点】奇偶函数图象的对称性【分析】根据题意，由f（x）是奇函数，可得g（1）=f（1），计算可得g（1）=3，进而可得f（g（1）=f（3），由x0时f（x）的解析式计算可得答案【解答】解：根据题意，当x0时，f（x）=g（x），f（x）为奇函数，g（1）=f（1）=f（1）=（12+21）=3，则f（g（1）=f（3）=f（3）=（32+23）=15；故答案为15【点评】本题考查函奇偶性的运用，解题时不必求出g（x）的解析式，直接由奇函数的性质转化为x0时的解析式即可16设a，b0，a+
22、b=5，则+的最大值为3【考点】函数最值的应用【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值【解答】解：由题意，（）2（1+1）（a+1+b+3）=18，的最大值为3，故答案为：3【点评】本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键三解答题(共6个小题，共70分）17已知AM=x|x2px+15=0，xR，BN=x|x2axb=0，xR，又AB=2，3，5，AB=3，求实数p、a、b的值【考点】交集及其运算；并集及其运算【分析】因为AB=3，所以3A，从而可得p=8，又由于3A，且AB=2，3，5，方程x2axb=0的二根为2和3由韦达定理可得a，b，从而解决问题【解答】解：因
23、为AB=3，所以3A，从而可得p=8，所以A=3，5又由于3A，且AB=2，3，5，所以B=2，3所以方程x2axb=0的二根为2和3由韦达定理可得a=5，b=6综上可知p=8，a=5，b=6【点评】本题考查学生的等价转化能力，将所求的取值化为相应的方程通过求解方程解出答案，正确进行转化是解决该题的关键18已知集合A=x|2a+1x3a5，B=x|x1或x16，根据下列条件求实数a的取值范围（1）AB=；（2）A（AB）【考点】集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用【分析】（1）根据AB=，可得12a+1x3a516，即可得出结论；（2）分类讨论，建立不等式，即可求实数a的取值范围
24、【解答】解：（1）AB=，12a+1x3a516或2a+13a512a+1，3a516，2a+13a5，或2a+13a5a1，a7，a6，或a6，a7（2）2a+1x3a51，2a+13a5，且3a51，a6，且a，没有解；162a+1x3a5，162a+1，且2a+13a5，a7.5且a6，A=时，2a+13a5，即为a6也成立，a7.5或a6【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，考查学生的计算能力，比较基础19已知函数f（x）=x2+bx+c满足f（0）=0，且f（1x）=f（x），令g（x）=f（x）|x1|（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数g（x）的最小值【考点】二次函数的
25、性质【分析】（1）利用已知条件求出b，c即可推出函数的解析式（2）g（x）=f（x）|x1|表示为分段函数的形式，然后求解最小值【解答】（1）解：f（0）=0，c=0对于任意xR都有，f（1x）=f（x）函数f（x）的对称轴为，即b=1f（x）=x2+x（2）当x1时 g（x）=x2+1 函数的最小值为2当x1时 g（x）=x2+2x1 函数的最小值为1所以函数的最小值为1【点评】本题考查二次函数的性质，函数的解析式的求法，分段函数的应用，考查计算能力20已知f（x）是定义在（0，+）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1（1）求证：f（8）=3（2）求不等式f（x）f
26、（x2）3的解集【考点】抽象函数及其应用【分析】（1）由已知利用赋值法及已知f（2）=1可求证明f（8）（2）原不等式可化为f（x）f（8x16），结合f（x）是定义在（0，+）上的增函数可求【解答】证明：（1）由题意可得f（8）=f（42）=f（4）+f（2）=f（22）+f（2）=3f（2）=3解：（2）原不等式可化为f（x）f（x2）+3=f（x2）+f（8）=f（8x16）f（x）是定义在（0，+）上的增函数解得：【点评】本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值及利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是熟练应用函数的性质21已知：f（x）=，x（0，+）（1）若b1，求证：函数f（
27、x）在（0，1）上是减函数；（2）是否存在实数a，b，使f（x）同时满足下列二个条件：在（0，1）上是减函数，（1，+）上是增函数；f（x）的最小值是3，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义【分析】（1）求f（x），所以只要证明b1时，对于x（0，1），f（x）0即可；（2）根据条件知，方程f（x）=0在（0，+）上有解，并且解为x=，所以令b=1，便满足条件了，再根据x=1时，f（x）取最小值3求出a即可【解答】解：（1）f（x）=；x（0，1）时，x2（0，1）；若b1，则：f（x）0；f（x）在（0，1）上是
28、减函数；（2）令f（x）=0，若满足第一个条件，则该方程在（0，+）上有解；并且解为；x时，f（x）0；x时，f（x）0；f（x）在（0，）上是减函数，在上是增函数；令b=1，便得到f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数，即满足；此时x=1时f（x）取到最小值，a=1；最后得到存在a=1，b=1使f（x）满足条件【点评】考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法，函数在极值点处的导数为0，以及根据导数求函数最值的方法与过程22已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），xR，（1）若f（1）=0，且函数f（x）的值域为0，+），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，
29、当x2，2时，g（x）=f（x）kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m0，n0，m+n0，a0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？【考点】二次函数的性质【分析】（1）f（1）=0ab+1=0，又值域为0，+）即最小值为04ab2=0，求出f（x）的表达式再求F（x）的表达式即可；（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可（3）f（x）为偶函数对称轴为0b=0，把F（m）+F（n）转化为f（m）f（n）=a（m2n2）再利用m0，n0，m+n0，a0来判断即可【解答】解：（1）f（1）=0，ab+1=0又函数f（x）的值域为0，+），所以a0且由知即4ab
30、2=0由得a=1，b=2f（x）=x2+2x+1=（x+1）2（2）由（1）有g（x）=f（x）kx=x2+2x+1kx=x2+（2k）x+1=，当或时，即k6或k2时，g（x）是具有单调性（3）f（x）是偶函数f（x）=ax2+1，m0，n0，则mn，则n0又m+n0，mn0，|m|n|F（m）+F（n）=f（m）f（n）=（am2+1）an21=a（m2n2）0，F（m）+F（n）能大于零【点评】本题是对二次函数性质的综合考查其中（1）考查了二次函数解析式的求法二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起
