1、学业分层测评(二十二)数量积的坐标表示(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1设a(1，2)，b(3,1)，c(1,1)，则(ab)(ac)等于_【解析】ab(4，1)，ac(2，3)，(ab)(ac)24(1)(3)11.【答案】112已知向量a(1，k)，b(2,2)，且ab与a共线，那么ab的值为_【解析】依题意得ab(3，k2)，由ab与a共线，得3k1(k2)0，解得k1，所以ab22k4.【答案】43(2016南通高一检测)已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b上的投影为_. 【导学号：06460065】【解析】a(2,3)，b(4,7)，ab2(4)3713，|a|，|b|，
2、cos ，a在b上的射影为|a|cos .【答案】4已知向量a(1,1)，2ab(4,2)，则向量a，b的夹角为_【解析】由于2ab(4,2)，则b(4,2)2a(2,0)，则ab2，|a|，|b|2.设向量a，b的夹角为，则cos .又0，所以.【答案】5(2016南京高一检测)已知O是坐标原点，A，B是坐标平面上的两点，且向量(1,2)，(3，m)若AOB是直角三角形，则m_.【解析】在RtAOB中，(4，m2)，若OAB为直角时，0，可得m4；若AOB为直角时，0，可得m；若OBA为直角时，无解【答案】或46设a(4，3)，b(2,1)，若atb与b的夹角为45，则实数t的值为_【解析】
3、atb(4，3)t(2,1)(42t，t3)，(atb)b(42t)2(t3)15t5.|atb|.由(atb)b|atb|b|cos 45，得5t5，即t22t30，t3或t1，经检验t3不合题意，舍去t1.【答案】17已知a(4,2)，则与a垂直的单位向量b_.【解析】设b(x，y)，则由得或【答案】或8(2016盐城高一检测)已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c_.【解析】不妨设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)，对于(ca)b，则有3(1m)2(2n)又c(ab)，则有3mn0，m，n，c.【答案】二、解答题9已知a(4,3)，b
4、(1,2)(1)求a与b的夹角的余弦；(2)若(ab)(2ab)，求实数的值【解】(1)ab4(1)322，|a|5，|b|，cosa，b.(2)ab(4，32)，2ab(7,8)，又(ab)(2ab)，(ab)(2ab)7(4)8(32)0，.10已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角【解】设a与b的夹角为，|a|，|b|，ab(1,2)(1，)12.(1)因为a与b的夹角为直角，所以ab0，所以120，所以.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos 0且cos 1，即ab0且a与b不反向由ab
5、0，得120，故0且cos 1，即ab0且a，b不同向由ab0，得，由a与b同向，得2，所以的取值范围为(2，)能力提升1(2016泰州高一检测)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.【解析】|a|b|1，a，b60，ab，|b|21，bctab(1t)b2t(1t)1t0，t2.【答案】22以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使A90，则的坐标为_【解析】设(x，y)，由|，得.由，得5x2y0联立，解得x2，y5或x2，y5.故(2,5)或(2，5)【答案】(2,5)或(2，5)3如图243，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中
6、点，点F在边CD上，若，则的值是_图243【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)故(，0)，(x,2)，(，1)，(x，2)，x.又，x1，(1，2)，22.【答案】4已知(2,1)，(1,7)，(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)(1)求使取得最小值时的；(2)对于(1)中求出的点C，求cosACB.【解】(1)因为点C是直线OP上一点，所以向量与共线，设t，则(2t，t)(12t,7t)，(52t,1t)(12t)(52t)(7t)(1t)5t220t125(t2)28.当t2时，取得最小值，此时(4,2)(2)当(4,2)时，(3,5)，(1，1)，所以|，|，8.所以cosACB.