1、1201.30.1xy 直线的倾斜角为 31tan120.yxk 将直线的方程化为，则，所以解析：333x0,0(1).2lABlkly直线 经过，两点，则直线 的斜率，倾斜角，直线 的方程为 333.kalyx由经过两点的斜率公式得，故倾斜角，根据点斜式得直线 的方程为：解析：25030 xyxy 或5,3.2.A 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 105,22502005,230.25030.ykxAxyxyCAxyxyxy 截距相等为 时，设直线方程为，将点代入得：；截距相等不为 时，设直线方程为，将点代入得：综上知，所求直线方程为或解析：(1 ，120()4.laxyaalaR
2、设直线 的方程为，若直线 不经过第二象限，则实数 的取值范围是 12.101020201.(1lyaxalaaaaaa 将直线 的方程化为因为直线 不经过第二象限，所以或，解得即实数 的取值范围是，解析：660660 xyxy或165.3.ll已知直线 的斜率为，且和两坐标轴围成面积为 的三角形，则直线 的方程为 11666.111|32660660.xylabbaaabbablxyxy 设直线 的方程为，则有，解得或故或解的方程为析:求直线的方程【例1】求分别满足下列条件的直线l的方程(1)直线l过点P(1,2)，倾斜角是直线l1：3x4y50的倾斜角的一半；(2)直线l过点M(0,1)，且
3、被两直线l1：x3y100，l2：2xy80所截得的线段恰好被M平分 121.34503tan2.4231tantan2tan31431tan901803180360tan3.1,223(1)310.lklxytantanklPlyxxy 设直线 的斜率为，倾斜角为设直线：的倾斜角为，则，且 由，得 或若，则从而，不合题意，所以 又直线 过点，由点斜式得直线 的方程为 ，即【】解析 12112,21221212(310)(82)(310)04,(82)22(4,2)4,0042044440.lllAyyB xxABMyxxyxyABAByxlxy 设直线 与直线 和直线 分别交于，、因为线段的
4、中点是，所以解得所以、的坐标分别为、由两点式得直线 的方程为即 本题考查直线方程的基础知识和基本方法，主要考查点斜式和两点式第(1)问已知直线过一定点，倾斜角又是已知直线的倾斜角的一半，用三角函数公式可以把它们的斜率 联 系 起 来，故 而 想 到 设 点 斜 式 方 便 一些应该注意的是，倾斜角是另一直线的倾斜角的一半，并不意味着斜率也是一半！第(2)问解法很多，本解法是用中点方法再结合两点式，这样解决比较简便一些 310,2;52(2,4)12llAlAxyBCBAAC求分别满足下列条件的直线 的方程直线 过点，它的倾斜角的正弦值为直线 过点，分别交 轴、轴于、两点，且满足【变式练习1】1
5、34sincos55sin3tancos4324348 0348 0.lkklyxxyxy设直线 的斜率为，倾斜角为，则由，得，所以 由点斜式得直线 的方程为 即 或【解析】21,0(0)(2,4)(24)2(2)231,8412213124120.xylabB aCbBAaACbaaBAACbbxylxy 设直线 的方程为 ，则，由，得解得所以直线 的方程为，即 uuruuuruuruuur基本不等式与直线方程的综合问题【例2】已知直线l过点M(2,1)，且与x轴的正半轴交于A点，与y轴的正半轴交于B点，O是坐标原点，求：(1)当AOB的面积取得最小值时，直线l的方程；(2)当|MA|MB|
6、取得最小值时，直线l的方程(1)1(00).212,11.21212,8.114222114224.1240.42AOBxylababOAa OBblMababababSOA OBabababAOBxylxyVV依题意，设直线 的方程为 ，则，因为直线 过点，所以 由 得所以，当且仅当 ，即 ，时，的面积取得最小值所以直线 的方程为 ，即【解析】2222.0.2,11(2)10(20)0(0,12)122121 12lkklMlyk xyAkxBkMA MBkk g设直线 的斜率为 由题意知因为直线 过点，所以直线 的方程为 当 时，得 点的坐标是，；当 时，得 点的坐标是则222222221
7、14 112 212 224114.1(1)(2)30.kkkkk kkkkMA MBlyxxy ，当且仅当，即 时，取得最小值所以直线 的方程为 ，即 直线方程的形式不只一种，因此设法很关键求过定点的直线方程往往用待定系数法本题第(1)问中，因ABC是直角三角形，面积显然与x轴、y轴上的截距关系密切，因而将直线方程设为截距式较好；第(2)问如果选择截距式，运算将非常繁杂，用点斜式或斜截式会好很多值得欣慰的是，本题两问都可以用基本不等式较为快捷地解决【变式练习2】求经过点A(-2,2)且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程21(00)2221202.1222 2244224
8、2242248.2xyababbaabbabbbbSabbbbbbbbb 解法一：设所求直线方程为，因为，所以，解 又，所以面积析：4242444022012122|2|42()8.2140bbSbabxyyk xkSkkkkkxy 最小当且仅当，即时 此时，故为所求解法二：设所求直线方程为，显然，由题意，当且仅当时取等号，故为所求直线方程直线方程的应用【例3】某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建造一幢商业住宅已知BC70 m，CD80 m，DE100 m，EA60 m，问如何设计才能使住宅楼占地面积最大？并求出最大面积(精确到1 m2)0,2030,01
9、.30202()20.32(100)m80(20)m3ABABxyABPxyyxPCDDEFGPFDGxx如图建立直角坐标系，则，故线段所在的直线方程为设线段上一点 的坐标为，则 由 分别向、作垂线，垂足分别为、，则得到长方形，其边长分别为和【解析】22222(100)80(20)3220600033250(5)6000(030)335056017 m.350(5)6017 m.3PFDGSxxxxxxxyP则长方形的面积所以，当 ，时，其面积最大，为即当，时，长方形的面积最大，为本题是一个生活实际问题，解法不只一种像上面这样利用直线方程来解决是比较好的一种方法因为要使得占地面积尽可能地大，线
10、段AB上不取点是不现实的，而线段AB所在的直线方程可以用截距式很方便地写出，P点的横、纵坐标x、y满足，就可以消去一个未知量了，何乐而不为呢？13020 xy【变式练习3】已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范围；(3)若直线l与x轴的负半轴交于A点，与y轴的正半轴交于B点，O是坐标原点，AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线l的方程 1(2)(1)0202,101(2,1)(2)21.00.2100)lxkyxxyyllykxklkkkk 证明：将直线 的方程化为 令解得即直线 过定点 将直线 的方程化为：欲使直线 不
11、经过第四象限，必须,即所以实数 的取值范围是【解，析】21230.0120012.0.1201212.144111222 224222211222240kkyxkkxxykkkykkOAOBkkkkSOA OBkkkkkkkklxy显然 存在且不为 当 时，；当 时，由题意，所以 所以，所以 当且仅当，即 时，上式等号成立所以此时直线 的方程为 1.m为任意实数时，直线(m1)x(2m1)ym5必经过定点_.(9，4)(21)(5)02109504(94)m xyxyxyxxyy 由直线得：，所以有，解得故直线必经过定点，【析解】23106 42.mxym 若直线 的倾斜角，则实数 的取值范围
12、是_3322 ，3tan16 43323313322kmm【因为，所以，即，所以】解析3.已知直线l被坐标轴截得线段中点是(1，3)，则直线l的方程是_.3xy602,0(06)026360.lxylxy直线 与坐标轴的交点坐标为、，故由截距式可求直线 的方程是，即【】解析4.过点(4，3)的直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l的方程【解析】(1)当直线l过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0.故满足条件的直线方程是3x4y0.21.43(43)111110717770.xylablababababalxyababalxy当直线 不过原点时，方程可设为 因为直线 过点，所以 又故当
13、时，所以 ，则直线 的方程为 ；当 时，所以 ，则直线 的方程为 5.在ABC中，已知点A(5，2)、B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程 51()023053.2(53)52(0)1,02015250.50 102xC xyyxyCMNyxMNxy设点，由题意得，得 ，故所求点 的坐标是 ，点的坐标是，点 的坐标是，直线的方程是，解即【析】本节内容主要从两个方面考查：一是如何利用题目给出的条件求直线方程，多用待定系数法，需要仔细审题，判明设直线方程的哪一种形式更为方便，并且要分类讨论，考虑周全，以免漏解；二是直线方程的应用，
14、包括用直线方程解决实际问题，也包括给出一个含参数的直线方程，根据条件讨论参数的取值范围等1用待定系数法求直线方程时，要考虑特殊情形，以防丢解下面列出直线方程的形式及注意事项：名称条件方程注意事项点斜式已知直线的斜率为k且过点(x0，y0)yy0k(xx0)记得把直线xx0“捡回来”斜截式已知直线的斜率为k、纵截距为bykxb记得把k不存在的直线“捡回来”名称条件方程注意事项两点式已知直线过两点(x1，y1)、(x2，y2)记得把直线xx1和直线yy1“捡回来”截距式直线在x、y轴上的截距分别是a、b记得把过原点的直线及平行于坐标轴的直线“捡回来”一般式 AxByC0 注意B0和A0的陷阱112
15、121yyxxyyxx1xyab2.用待定系数法求直线方程的步骤：(1)根据判断，设所求直线方程的一种形式；(2)由条件建立所求参数的方程；(3)解方程(组)求出参数；(4)把参数值代入所设直线方程，最后将直线方程化为一般式212121 3()tan()20)2()2yykxxxxkkk求斜率一般有两种方法：其一，已知直线上两点，根据斜率公式 求斜率；其二，已知直线的倾斜角 或 的三角函数值，根据 求斜率，此类问题常与三角函数知识联系在一起当倾斜角，时，斜率 随 的增大而增大，当倾斜角，时，斜率 仍随 的增大而增大4在确定直线的倾斜角、斜率时，要注意倾斜角的范围、斜率存在的条件；在利用直线方程的几种特殊形式时要注意它们各自的适用范围，特别是在利用直线的点斜式与斜截式解题时，要防止由于“无斜率”而漏解，在解与截距有关的问题时，要防止“零截距”漏解现象
