1、第二十一章 一元二次方程 九年级数学上册人教版*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 21.2 解一元二次方程 知识点一 利用根与系数的关系求含方程两根的代数式的值1.一元二次方程x22x0的两根分别为x1，x2，则x1x2的值为()A.2B.1C.2D.02.(2019泰州)方程2x26x10的两根为x1，x2，则x1x2等于()A.6B.6C.3D.33.方程4x25x1的两根为x1，x2，则x1x2x1x2的值是()A.1B.1C.D.3232D C B 4.(课本P16练习改编)已知x1，x2是一元二次方程x23x10的两根，不解方程求下列各式的值：(1)；(2)(x11)(x2
2、1)；11x21x解：由根与系数的关系，得x1x23，x1x21.(1)121212x+x1133x x1xx(2)(x11)(x21)x1x2(x1x2)11313.(3)x12x22；(4).21xx12xx(3)x12x22(x1x2)22x1x2322(1)11.(4).2221121212x+x1111x x1xxxx 知识点二 利用根与系数的关系求方程的根或字母的值5.若关于x的方程2x2ax2b0的两根和为4，积为3，则a，b分别为()A.a8，b6B.a4，b3C.a3，b8D.a8，b36.若关于x的一元二次方程x22xm0有一个根为x1，则另外一个根为()A.1B.3C.3
3、D.4D C 8.已知x1，x2是关于x的方程x2bx30的两根，且满足x1x23x1x25，那么b的值为()A.4B.4C.3D.37.如果1是方程2x2bx40的一个根，那么方程的另一个根是()A.2 B.2 C.1 D.1A A 9.已知关于x的方程x22xm0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求实数m的取值范围；(2)若x1x22，求实数m的值.解：(1)由题意，得(2)241m44m0，解得m1.(2)由根与系数的关系，得x1x22.由 解得 由根与系数的关系，得m200.1212+=2,-=2,xxxx12=2,=0.xx易错点 利用根与系数的关系时，忽视前提条件010.若关于
4、x的方程x2(a1)xa20的两根互为倒数，则a的值为()A.1或1B.1C.1D.011.(2019潍坊)关于x的一元二次方程x22mxm2m0的两个实数根的平方和为12，则m的值为()A.m2B.m3C.m3或m2D.m3或m2C A 12.已知x1，x2是关于x的方程x2ax20的两根，下列结论一定正确的是()A.x1x20B.x1x20C.x10，x20D.x1x2013.甲、乙两同学解方程x2pxq0，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和10，则原方程为()A.x29x140B.x29x140C.x29x100D.x29x14014.设a，b是方程x22x200的两个
5、实数根，则a23ab的值为_.D D 18 考查角度一 根与系数的关系与根的判别式、不等式结合15.关于x的一元二次方程x22xk10的实数根是x1和x2.(1)求k的取值范围；(2)如果x1x2x1x21，且k为整数，求k的值.解：(1)由题意，得44(k1)0，解得k0.(2)由根与系数的关系，得x1x22，x1x2k1，2(k1)2.又k0，且k为整数，k的值为1或0.考查角度二 代数式变形后利用根与系数的关系求值16.已知关于x的一元二次方程x2(2m1)xm210有两个不相等的实数根.(1)求m的最小整数值；(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1x2)2m217，求m的值.解
6、：(1)原方程有两个不相等的实数根，(2m1)24(m21)0，解得 m ，m的最小整数值是1.54(2)由题意，得x1x2(2m1)，x1x2m21.(x1x2)2m217，(x1x2)24x1x2m217，(2m1)24(m21)m217，m24m120，解得m16，m22.m ，m2.54拔尖角度一 利用根与系数的关系构造方程17.有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识对其解决.下面介绍两种基本构造方法：方法1：利用根的定义构造.例如，若实数m，n满足m2m10，n2n10，且mn，则可将m，n看作是方程x2x10的两个不相
7、等的实数根.方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，若实数a，b满足ab3，ab2，则可以将a，b看作是方程x23x20的两个实数根.根据上述材料解决下面问题：(1)已知实数m，n满足3m2m10，3n2n10，且mn，则mn_，mn_；(2)已知实数a，b，c满足abc5，ab，且c5，求c的最大值.165-c1313(2)abc5，ab ，将a，b看作是方程x2(c5)x 0的两个实数根(c5)24 0，而c5，(5c)364，5c4，即c1，c的最大值为1.165c165c165c拔尖角度二 利用根与系数的关系及根的判别式解决几何问题18.已知关于x的一元二次方程x2(2m1)xm240.(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值.39解：(1)方程x2(2m1)xm240有两个不相等的实数根，(2m1)24(m24)4m170，解得m .174(2)设方程的两根分别为a，b.根据题意，得ab2m1，abm24.2a，2b为边长为 的菱形的两条对角线的长，a2b2(ab)22ab(2m1)22(m24)2m24m9()239，解得m3或m5.a0，b0，ab2m10，m3.3939
