1、热点突破热点突破高考导航 直线的概念与直线方程是解析几何的基础，在高考中与直线相关的考题较多，但单独命题不多，它渗透到解析几何的各个部分，重视斜率、直线方程的应用等基础知识在圆、圆锥曲线中的综合应用圆的方程、直线与圆的位置关系是高考考查的热点，主要考查圆的方程、弦长、面积的求法，并常与圆的几何性质交汇圆锥曲线是解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主，注重“算理”的积累和表征，试题从不同的角度对问题进行表征，体现了对解析几何“多考一点想，少考一点算”的命题特点，问题在第(2)问或第(3)问中都伴有较为复杂的运算，要
2、求有较强的运算求解能力热点突破热点一 直线与圆的交汇问题直线与圆的位置关系是高考考查的热点，主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应用，以及弦长、面积的求法等，并常与圆的几何性质交汇，要求学生有较强的运算求解能力热点突破【例1】(2015南京师大附中模拟)已知圆的圆心是抛物线y24x的焦点，且直线4x3y60与圆相切，则圆的标准方程为_解析 由题意知圆心坐标为 C(1,0)，且圆心 C 到直线的距离等于半径，即 Rd105 2，故圆的方程为(x1)2y24.答案(x1)2y24 探究提高 与圆有关的综合问题，既可以用代数法求解，用到方程与函数思想，同时圆有很多几何性质，注意分类讨论、数形结
3、合思想，充分利用圆的几何性质求解，往往会事半功倍热点突破【训练1】(2015泰州、连云港模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y24x0.若直线yk(x1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是_解析 设过 P 所作的圆的两条切线为 PA，PB，切点是 A，B，连接 CA，CB，则由两切线相互垂直得四边形 PACB 是边长为 2 的正方形，所以 CP2 2.又直线 yk(x1)上存在一点P 满足条件，所以圆心 C(2,0)到直线 yk(x1)的距离d2 2，即|2kk|k212 2，解得2 2k2 2，故实数 k的取值范围是2 2，2 2答案 2 2，2
4、 2热点突破热点二 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题热点突破【例 2】(16 分)(2015宿迁模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)与直线 l：xm(mR)四点(3,1)，(3，1)，(2 2，0)，(3，3)中有三个点在椭圆 C上，剩余一个点在直线 l 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)若动点 P 在直线 l 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M，N 两点，使得 PMPN，再过 P 作直线 lMN.证明：直线 l恒过定点，并求出该定点的坐标
5、热点突破(1)解 由题意有 3 个点在椭圆 C 上，根据椭圆的对称性，则点(3,1)，(3，1)一定在椭圆 C 上，即 9a2 1b21，(2 分)若点(2 2，0)在椭圆 C 上，则点(2 2，0)必为 C 的左顶点，而 32 2，则点(2 2，0)一定不在椭圆 C 上，故点(3，3)在椭圆 C 上，点(2 2，0)在直线 l 上，所以 3a2 3b21，(4 分)联立，解得 a212，b24，所以椭圆 C 的方程为x212y24 1.(6 分)热点突破(2)证明 由(1)可得直线 l 的方程为 x2 2，设 P(2 2，y0)，y02 33，2 33，当 y00 时，设 M(x1，y1)，
6、N(x2，y2)，显然 x1x2，联立x2112y214 1，x2212y224 1，则x21x2212 y21y2240，即y1y2x1x213x1x2y1y2，(10 分)热点突破又 PMPN，即 P 为线段 MN 的中点，故直线 MN 的斜率为132 2y02 23y0，又 lMN，所以直线 l的方程为yy0 3y02 2(x2 2)，即 y 3y02 2x4 23，显然 l恒过定点4 23，0；(14 分)当 y00 时，直线 MN 即 x2 2，此时 l为 x 轴亦过点4 23，0，综上所述，l恒过定点4 23，0.(16 分)热点突破构建模板 解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步
7、骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值第二步：探究一般情况探究一般情形下的目标结论第三步：下结论，综合上面两种情况定结论热点突破探究提高(1)求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2)如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法热点
8、突破【训练 2】(2015南通模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(1,0)，离心率为 22.分别过 O，F 的两条弦 AB，CD 相交于点 E(异于 A，C 两点)，且OEEF.(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线 AC，BD的斜率之和为定值热点突破(1)解 由题意，得 c1，eca 22，故 a 2，从而 b2a2c21，所以椭圆的方程为x22y21.热点突破(2)证明 设直线 AB 的方程为 ykx，直线 CD 的方程为 yk(x1)，由得，点 A，B 的横坐标为22k21，由得，点 C，D 的横坐标为2k2 2k212k21.设 A(
9、x1，kx1)，B(x2，kx2)，C(x3，k(1x3)，D(x4，k(1x4)，热点突破则直线 AC，BD 的斜率之和为kx1k1x3x1x3kx2k1x4x2x4kx1x31x2x4x1x3x2x41x1x3x2x4k2x1x2x3x4x1x2x3x4x1x3x2x4k222k212k222k21 0 4k22k21x1x3x2x4k 4k22k21 4k22k21x1x3x2x4 0.热点突破热点三 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问
10、题热点突破【例 3】(2015南京、盐城模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2，一条准线方程为 x2.P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1交椭圆 C 于另一点 Q.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若点 P 的坐标为(0，b)，求过 P，Q，F2 三点的圆的方程；(3)若F1P QF1，且 12，2，求OP OQ 的最大值热点突破解(1)由题意得2c2，a2c 2，解得 c1，a22，所以 b2a2c21，所以椭圆 C 的方程为x22 y21.热点突破(2)因为 P(0,1)，F1(1,0)，所以 PF1 的方程为
11、 xy10.由 xy10，x22y21解得x0，y1或x43，y13，所以点 Q 的坐标为43，13.法一 因为 kPF1kPF21，所以PQF2 为直角三角形因为 QF2 的中点为16，16，QF25 23，所以圆的方程为x162y1622518.热点突破法二 设过 P，Q，F2 三点的圆为 x2y2DxEyF0，则1EF0，1DF0，179 43D13EF0，解得 D13，E13，F43.所以圆的方程为 x2y213x13y430.热点突破(3)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则F1P(x11，y1)，QF1(1x2，y2)因为F1P QF1，所以x111x2，y1y2，即x11x
12、2，y1y2，所以1x2222y221，x222y221，解得 x2132，热点突破所以OP OQ x1x2y1y2x2(1x2)y222x22(1)x221322(1)132 74581.因为 12，2，所以 1212，当且仅当 1，即 1 时，取等号所以OP OQ 12，即OP OQ 的最大值为12.热点突破探究提高 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值热点突破【训练 3】(2015徐州模拟)在平
13、面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，两个顶点分别为A1(2,0)，A2(2,0)过点 D(1,0)的直线交椭圆于 M，N 两点，直线 A1M 与 NA2 的交点为 G.(1)求实数 a，b 的值；(2)当直线 MN 的斜率为 1 时，若椭圆上恰有两个点 P1，P2使得P1MN 和P2MN 的面积为 S，求 S 的取值范围；(3)求证：点 G 在一条定直线上热点突破(1)解 由题设可知 a2.因为 e 32，即ca 32，所以 c 3.又因为 b2a2c2431，所以 b1.热点突破(2)解 由题设可知，椭圆的方程为x24 y21，直线 MN 的方程为
14、 yx1.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组x24y21，yx1，消去 y 可得 5x28x0，解得 x10，x285.将 x10，x285，代入直线 MN 的方程，解得 y11，y235.热点突破所以 MN x1x22y1y2285 2.设与直线 MN 平行的直线 m 方程为 yx.联立方程组x24 y21，yx，消去 y 可得 5x28x4240，若直线 m 与椭圆只有一个交点，则满足 64220(424)0，解得 5.热点突破当直线 m 为 yx 5时，直线 l 与 m 之间的距离为d1|1 5|2 512；当直线 m 为 yx 5时，直线 l 与 m 之间的距离为d2|
15、1 5|2 512.设点 C 到 MN 的距离为 d，要使CMN 的面积为 S 的点 C 恰有两个，则需满足 d1dd2，即 512 d 512.因为 S12dMN45 2d，所以4 545S4 545.热点突破(3)证明 设直线 A1M 的方程为 yk1(x2)，直线 A2N 的方程为 yk2(x2)联立方程组x24 y21，yk1x2，消去 y 得(14k21)x216k21x16k2140，解得点 M 的坐标为28k2114k21，4k114k21.热点突破同理，可解得点 N 的坐标为8k22214k22，4k214k22.由 M，D，N 三点共线，有4k114k2128k2114k21
16、14k214k228k22214k221，化简得(k23k1)(4k1k21)0.由题设可知 k1 与 k2 同号，所以 k23k1.热点突破联 立 方 程 组yk1x2，yk2x2，解 得 交 点G的 坐 标 为2k1k2k2k1，4k1k2k2k1.将 k23k1 代入点 G 的横坐标，得 xG2k1k2k2k1 2k13k13k1k1 4.所以，点 G 恒在定直线 x4 上热点突破热点四 圆锥曲线的探索性问题(与圆交汇)圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题热
17、点突破【例 4】(16 分)(2014重庆卷改编)如图，设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 D 在椭圆上，DF1F1F2，F1F2DF12 2，DF1F2 的面积为 22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由热点突破解(1)设 F1(c,0)，F2(c,0)，其中 c2a2b2.由F1F2DF12 2，得 DF1F1F22 2 22 c.从而 SDF1F212DF1F1F2 22 c2 22，故 c1
18、.从而 DF1 22.(4 分)由 DF1F1F2，得 DF22DF21F1F2292，因此 DF23 22.所以 2aDF1DF22 2，故 a 2，b2a2c21.因此，所求椭圆的标准方程为x22 y21.(6 分)热点突破(2)如图，设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆x22y21 相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2 是圆 C 的切线，且 F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2.(8 分)热点突破由(1)知 F1(1,0)，F2(1,0)，所以F1P1(x11，y1)，F2P2(x11，y1)再由 F1P1F2
19、P2，得(x11)2y210，由椭圆方程得，1x212(x11)2，即 3x214x10，解得 x143或 x10.(11 分)当 x10 时，P1，P2 重合，题设要求的圆不存在当 x143时，过 P1，P2 分别与 F1P1，F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C.热点突破设 C(0，y0)，由 CP1F1P1，得y1y0 x1 y1x111.而求得 y113，故 y053.(14 分)圆 C 的半径 CP1432135324 23.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为：x2y532329.(16 分)热点突破构建模板 求解圆锥曲线中的探索性问题的一般步骤第一步：假设结论存在第二步：以存在
20、为条件，进行推理求解第三步：明确规范表述结论若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设第四步：反思回顾查看关键点，易错点及解题规范热点突破探究提高(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法热点突破【训练 4】(2015盐城模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆的焦点在 x 轴上，离心率为 53，且经过点(0,2
21、)(1)求椭圆的标准方程；(2)以椭圆的长轴为直径作圆 O，设 T 为圆 O 上不在坐标轴上的任意一点，M 为 x 轴上一点，过圆心 O 作直线 TM 的垂线交椭圆右准线于点 Q.问：直线 TQ 能否与圆 O 总相切？如果能，求出点 M 的坐标；如果不能，请说明理由热点突破解(1)设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，经过点(0,2)，b2，又eca 53，可令 c 5x，a3x，b2a2c24x24，即 x1，椭圆的标准方程为x29 y241.热点突破(2)存在点 M(5，0)设点 T(x0，y0)，M(c,0)，T 在以椭圆的长轴为直径的圆 O 上，且不在坐标轴上的任意点，x0y00 且 x20y209，又kTM y0 x0c，由 OQTM，kOQx0cy0，直线 OQ 的方程为 yx0cy0 x，热点突破点 Q 在直线 x9 55 上，令 x9 55，得 y9 5x0c5y0，即 Q9 55，9 5x0c5y0，kTQy09 5x0c5y0 x09 555y209 5x0cy05x09 559x209 5x0cy05x09 5，又 kOTy0 x0，TQ 与圆 O 总相切，故 OTTQ，热点突破于是有 kOTkTQ1，kTQx0y0，即59x209 5x0cy05x09 5x0y0恒成立，解得 c 5，即存在这样的点 M(5，0)，使得 TQ 与圆 O 总相切.
