1、5101021.1.ababmanbmnab已知 ，的等差中项是，且，则的最小值是 1211041111512abababmnabababab：因为，的等差中项是，所以，所以，所以，当且仅当时解析取等号31xx或,1,1(21,.2)3.2P xxQx在空间直角坐标系中，点与点，之间的距离不小于，则实数 的取值范围是 222221112343031.xxxxxx由，化简得，解得或解析：226km/h400 km()km20h.3.vv一批救灾物资随辆汽车从某市以的速度匀速直达外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于，则这批物资全部运送到灾区最少需10 240025252025240010
2、80vvtvv时间最短，解则两车之间的间距最小，且要安全，则时间析，当且仅当时：等号成立4.(2012)0lgxx不兴等式的化期中卷解集是|01xx0001.xlgxx原不等式等价于，解得解析：9 32004225.(2011.1)abf xxaxbxxab若，且函数在处有极值，则的最福建大值等于 卷 212221122206293fxxaxbfababababab，当且仅当时，解析：等号成立不等式在方程及函数中的应用 212124(0)0().1|1212117.1f xaxxb aabxf xxxf xxababxx R已知函数，且，设关于 的不等式的解集为，且方程的两实根为，若，求，的关
3、系式；若，求证：【例】222222130.3940|41941.4949.23.012.f xxaxxbbabaabaaaababaabg xaxxbaab 由，得 由已知得，所以，所以 所以，所以、的关系式为证明：令又，解析：212121212121210130.202460404.1114 14 1.ggabggabxxaxxbbxxx xaaxxx xxxbaaba 所以，即又，是方程的两根，所以，所以1230460044,6431617117.ababababaxx 由线性约束条件，画图可知，的取值范围为，所以，所以2122122011,11,1xxaxxxmmlmxxalm 已知关于
4、 的方程的两根为，试问是否存在实数，使得不等式对任意实【变式练习数及恒成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，说1】明理由 1212221212122122122222481,182 2 311,11,1131,1201,12xxax xxxxxx xaaxxamlmxxalmlmlmlmlg lmlm 由题意有，所以 因为，所以，要使不等式对任意及恒成立，当且仅当对任意恒成立，即对任意恒成立 设解析：222121022.1011,11,1(22)gmmmmgmmmmlmxxalm 由，解得或 故存在实数，使得不等式对任意实数及恒成立，且 的取值范围是，含参数不等式参数的取值范围【例2】已知m
5、R，函数f(x)=x2-mx.(1)当x1,2时，如果函数f(x)的最大值为f(1)，求实数m的取值范围；(2)若对任意正实数x，不等式f(x)-1恒成立，求实数m的取值范围 222minmin121212 1423.2110111().1102()22.mf xxmxxxxffmmmf xxmxxxmxmxxxxxxxxxm 函数的对称轴为，图象开口向上，函数在或处取得最大值，则，得等价于，其中，则有恒成立，所以又时，即，所以解析：222032500 xyxyxyya xyxya 【变式练任意满足的实数，总有成习】立，求实数 的最大值2222min2()2xyABCa xyxyxyaxy V
6、，对应的点在图中区域，对该区域上的每个点都成立，即解析：，222222211()31222111325252131325.13xyxyxyxyxyyxytxyxtxytyxttaa 而，令，其几何意义是区域上的点，与坐标原点的连线的斜率，所以，则，时，取到最小值，所以，即实数 的最大值为不等式在实际问题中的应用400600()()3yx为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量 吨 之间的函数关系可【例】近似的表 2120080000210012yxx
7、示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？11800001800002002200222001800004002200yxxxxxxxx由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：，当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为解析：元 22221001100(20080000)21300800002130035000.2SSxyxxxxxx 设该单位每月获利为，则40060040040000.40000 xxS
8、因为，所以当时，有最大值故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损2011()(0)3()112011xmmkxkm某企业拟在年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量 即该厂的年产量万件与年促销费用 万元满足为常数，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能【变是 万件已知年生产该产品的式练习3】固定投入 81161.5()1201122011ym为 万元，每生产 万件该产品需要再投入万元，企业将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金 将年该产品的利润 万元表示为年促销费用 万元的函数；该企业年的促销费用投入多少万元时利润最大？101()
9、2132.3.18161.5()2011mxkkxmxx由题意可知当时，万件，所以所以 每件产品的销售价格为元，解析：所以年的利润 816(1.5)81624848(3)11 29(0)162012 168182921xyxxmxxmmmmmmmmy 因为时，所以，max1613()121()2011321mmmy 当且仅当万元 时，万元 答：该企业年的促销费用投入 万元时利润最大，最大利润是万元032 2.a 21201,11.xxaxaa关于 的方程的两根均在内，则实数 的取值范围为222212.1,1(1)82112(1)(1)(1)201(1)120032.2yxaxaaaaaaaaa
10、 令由题意可知，函数的两个零点均在内，作出函数图象如图所示，充要条件为：解得解析：2212120()2(0)0.axbxcxxxxcxbxa若一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 2111()xx，121222121221000101011()aaaxxxxbcccbxxaax x xxxxxx 由题意可知，所以，所求不等式解集在两根之间 又原不等式等价与，即，解得解集为，解析：1,1(2)，120.3.(2011)xx不等式的解集州三模卷是 扬01200120012xxxxxxxxx 解析：原不等式等价于或，即或012012101121,1(2)xxxxxxx 或，解得 或 或 ，即 或
11、 ，所以原不等式的解集是，2221520|22125104.axxxxaaxxa 若不等式的解集是，求实数 的值；求不等式的解集 22222(1)01520222.2253012530321510(3)2aaxxaxxxxxaxxa 由题意知，且方程的两个根分别为，代入解得，即为，解得，即不等式的解集为，解析：5.某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8 m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长度小0.5 m，BCD60.已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长度，可使建造这个支架的成本最低？22222m(1.4)m.1()2cos60214.11422.1BCaaCDbBDCDBbbaababaabaaa设，连结，则在中，所以 所以 析【解】211.410.411422(1)334740.50.41.54.3 m4 mtattbatttttabABCD 设 ，则，所以 ，上式等号成立时，则，答：当，时，建造这个支架的成本最低1不等式知识已经渗透到函数、三角、数列、解析几何等内容中，体现了不等式广泛应用的工具意识2运用不等式知识解题的关键是建立不等关系，再应用重要不等式、不等式基本性质及解不等式知识解题3在实际问题中，经常会出现寻找最优化结果的问题，通解通法是将问题转化为不等式模型，再应用不等式知识求解最值