1、第八章 平面解析几何 8.3 圆的方程 考向归纳考向1求圆的方程1若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的方程为()A(x2)2(y2)23 B(x2)2(y)23C(x2)2(y2)24 D(x2)2(y)24【解析】因为圆C经过(1,0),(3,0)两点,所以圆心在直线x2上,又圆C与y轴相切,所以圆的半径r2,设圆心坐标为(2,b),则(12)2b24,b23,b.故选D.【答案】D2(2014山东高考)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为_【解析】因圆C的圆心在直线x2y0上,且与y轴的正半轴相切,所以设圆心C(
2、2b,b)(b0),半径r2b.又圆C截x轴所得弦的长为2,圆心C到x轴的距离为b,所以由勾股定理,解得b1.因此圆C的标准方程为(x2)2(y1)24.【答案】(x2)2(y1)243圆心在直线y4x上,且与直线l:xy10相切于点P(3,2)的圆的方程为_【解析】由题意设圆的方程为(xa)2(y4a)2r2(r0),由圆与直线l:xy10相切于点P(3,2)得解得故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.【答案】(x1)2(y4)281求圆的方程的两种方法(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方
3、程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值2确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上(3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线考向2与圆有关的轨迹问题(1)已知点A(1,0),点B(2,0),动点C满足|AC|AB|,则点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程为_(2)(2014全国卷)已知点P(2,2),圆C:x2y28y0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点求M的
4、轨迹方程;当|OP|OM|时,求l的方程及POM的面积【解析】(1)由题意|AC|AB|3,则动点C的轨迹方程为(x1)2y29,设C(x0,y0),M(x,y),则即又(x01)2y9,所以4x2(2y4)29.即x2(y2)2.【答案】x2(y2)2(2)圆C的方程可化为x2(y4)216,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则(x,y4),(2x,2y)由题设知0,故x(2x)(y4)(2y)0,即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.由可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆由于|OP|OM|,故O在线段PM的垂直
5、平分线上又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为,故l的方程为yx.又|OM|OP|2,O到l的距离为,|PM|,所以POM的面积为.求与圆有关的轨迹问题的四种方法| |变式训练1.设定点M(3,4),动点N在圆x2y24上运动,以OM、ON为两边作平行四边形MONP(O是坐标原点),求点P的轨迹【解】设P(x,y),N(x0,y0),则(x,y),(x0,y0),(3,4),由得;(x,y)(3,4)(x0,y0),所以所以又xy4,所以(x3)2(y4)24.所以点P的轨迹是以(3,4)为圆心,2为半径的圆,因为O,M,P三点不共线,所以应除去两点和.考向3与圆有关的
6、最值问题1.已知实数x,y满足方程x2y24x10.求:(1)的最大值和最小值;(2)yx的最小值;(3)x2y2的最大值和最小值【解】(1)如图,方程x2y24x10表示以点(2,0)为圆心,以为半径的圆设k,即ykx,则圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值由,解得k23,kmax,kmin.(2)设yxb,则yxb,仅当直线yxb与圆切于第四象限时,截距b取最小值,由点到直线的距离公式,得,即b2,故(yx)min2.(3)x2y2是圆上点与原点的距离的平方,故连接OC,与圆交于B点,并延长交圆于C,则(x2y2)max|OC|2(2)274,(x2y
7、2)min|OB|2(2)274.与圆有关的最值问题的常见解法1形如形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题2形如taxby形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题3形如(xa)2(yb)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题变式训练1设P(x,y)是圆(x2)2y21上的任意一点,则(x5)2(y4)2的最大值为()A6 B25 C26 D36【解析】(x5)2(y4)2表示点P(x,y)到点(5,4)的距离的平方点(5,4)到圆心(2,0)的距离d5.则点P(x,y)到点(5,4)的距离最大值为6,从而(x5)2(y4)2的最大值为36,故选D.【答案】D2已知两点A(1,0),B(0,2),点P是圆(x1)2y21上任意一点,则PAB面积的最大值与最小值分别是()A2,(4)B.(4),(4)C.,4D.(2),(2)【解析】直线AB的方程为1,即2xy20,圆心(1,0)到直线AB的距离d,则点P到直线AB的距离最大值为1,最小值为1,又|AB|,则PAB面积的最大值Smax(4),PAB面积的最小值Smin(4),故选B.【答案】B