1、第八章 平面解析几何 8.3 圆的方程 考向归纳考向1求圆的方程1若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A(x2)2(y2)23 B(x2)2(y)23C(x2)2(y2)24 D(x2)2(y)24【解析】因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x2上，又圆C与y轴相切，所以圆的半径r2，设圆心坐标为(2，b)，则(12)2b24，b23，b.故选D.【答案】D2(2014山东高考)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为_【解析】因圆C的圆心在直线x2y0上，且与y轴的正半轴相切，所以设圆心C(
2、2b，b)(b0)，半径r2b.又圆C截x轴所得弦的长为2，圆心C到x轴的距离为b，所以由勾股定理，解得b1.因此圆C的标准方程为(x2)2(y1)24.【答案】(x2)2(y1)243圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)的圆的方程为_【解析】由题意设圆的方程为(xa)2(y4a)2r2(r0)，由圆与直线l：xy10相切于点P(3，2)得解得故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.【答案】(x1)2(y4)281求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方
3、程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值2确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线考向2与圆有关的轨迹问题(1)已知点A(1,0)，点B(2,0)，动点C满足|AC|AB|，则点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程为_(2)(2014全国卷)已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点求M的
4、轨迹方程；当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积【解析】(1)由题意|AC|AB|3，则动点C的轨迹方程为(x1)2y29，设C(x0，y0)，M(x，y)，则即又(x01)2y9，所以4x2(2y4)29.即x2(y2)2.【答案】x2(y2)2(2)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.由可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直
5、平分线上又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为yx.又|OM|OP|2，O到l的距离为，|PM|，所以POM的面积为.求与圆有关的轨迹问题的四种方法| |变式训练1.设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP(O是坐标原点)，求点P的轨迹【解】设P(x，y)，N(x0，y0)，则(x，y)，(x0，y0)，(3,4)，由得;(x，y)(3,4)(x0，y0)，所以所以又xy4，所以(x3)2(y4)24.所以点P的轨迹是以(3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O，M，P三点不共线，所以应除去两点和.考向3与圆有关的
6、最值问题1.已知实数x，y满足方程x2y24x10.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)x2y2的最大值和最小值【解】(1)如图，方程x2y24x10表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆设k，即ykx，则圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值由，解得k23，kmax，kmin.(2)设yxb，则yxb，仅当直线yxb与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得，即b2，故(yx)min2.(3)x2y2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，则(x2y2)max|OC|2(2)274，(x2y
7、2)min|OB|2(2)274.与圆有关的最值问题的常见解法1形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题2形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题3形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题变式训练1设P(x，y)是圆(x2)2y21上的任意一点，则(x5)2(y4)2的最大值为()A6 B25 C26 D36【解析】(x5)2(y4)2表示点P(x，y)到点(5，4)的距离的平方点(5，4)到圆心(2,0)的距离d5.则点P(x，y)到点(5，4)的距离最大值为6，从而(x5)2(y4)2的最大值为36，故选D.【答案】D2已知两点A(1,0)，B(0,2)，点P是圆(x1)2y21上任意一点，则PAB面积的最大值与最小值分别是()A2，(4)B.(4)，(4)C.，4D.(2)，(2)【解析】直线AB的方程为1，即2xy20，圆心(1,0)到直线AB的距离d，则点P到直线AB的距离最大值为1，最小值为1，又|AB|，则PAB面积的最大值Smax(4)，PAB面积的最小值Smin(4)，故选B.【答案】B