1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 两直线的位置关系基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直，B级要求；2.用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，B级要求；3.两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离，B级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1l2，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直k
2、1k2 平行k1k21 基础诊断考点突破课堂总结2两直线相交直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解一一对应相交方程组有，交点坐标就是方程组的解；平行方程组；重合方程组有.唯一解无解无数个解基础诊断考点突破课堂总结3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为 P1P2 x2x12y2y12.特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离 OP .(2)点到直线的距离公式平面上任意一点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d .x
3、2y2|Ax0By0C|A2B2基础诊断考点突破课堂总结(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离 d .|C1C2|A2B2基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距
4、离()基础诊断考点突破课堂总结2(苏教版必修2P93T5改编)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是_解析 设所求直线方程为x2yc0，将(1,0)代入得c1.所求直线方程为x2y10.答案 x2y10基础诊断考点突破课堂总结3(2014福建卷改编)已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是_解析 已知圆的圆心为(0,3)，直线xy10的斜率为1，则所求直线的斜率为1，所以所求直线的方程为yx3，即xy30.答案 xy30基础诊断考点突破课堂总结4直线2x2y10，xy20之间的距离是_解析 先将 2x2y10 化为 xy120，则两平行线间的距离为 d
5、|212|2 3 24.答案 3 24基础诊断考点突破课堂总结5(2015徐州检测)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_.解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.答案 0或1基础诊断考点突破课堂总结考点一 两直线的平行与垂直【例1】已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1l2时，求a的值深度思考 建议同学们用两种方法来求解：一是求直线的斜率，利用斜率的关系求解；二是利用直线方程的系数间的关系求解基础诊断考点突破课堂总结解(1)法一 当 a1 时
6、，l1：x2y60，l2：x0，l1 不平行于 l2；当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1 不平行于 l2；当 a1 且 a0 时，两直线可化为l1：ya2x3，l2：y 11ax(a1)，l1l2a2 11a，3a1，解得 a1，综上可知，a1 时，l1l2.基础诊断考点突破课堂总结法二 由 A1B2A2B10，得 a(a1)120，由 A1C2A2C10，得 a(a21)160，l1l2aa1120，aa21160，a2a20，aa216a1，故当 a1 时，l1l2.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一 当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1 与 l2 不垂直，故 a1
7、 不成立；当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1 不垂直于 l2；当 a1 且 a0 时，l1：ya2x3，l2：y 11ax(a1)，由a2 11a1a23.法二 由 A1A2B1B20，得 a2(a1)0a23.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论基础诊断考点突破课堂总结【训练1】已知过点A(2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2xy10
8、为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为_解析 l1l2，kAB4mm22，解得 m8.又l2l3，1n(2)1，解得 n2，mn10.答案 10 基础诊断考点突破课堂总结考点二 两条直线的交点与点到直线的距离【例2】直线l经过点P(2，5)且与点A(3，2)和点B(1,6)的距离之比为12，求直线l的方程解 当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x2，点A到直线l的距离为d11，点B到直线l的距离为d23，不符合题意，故直线l的斜率必存在基础诊断考点突破课堂总结直线 l 过点 P(2，5)，设直线 l 的方程为 y5k(x2)，即 kxy2k50.点 A(3，2
9、)到直线 l 的距离 d1|3k22k5|k21|k3|k21，点 B(1,6)到直线 l 的距离 d2|k62k5|k21|3k11|k21.d1d212，|k3|3k11|12，k218k170，k11，k217.所求直线方程为 xy30 和 17xy290.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)已知直线 ykx2k1 与直线 y12x2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是_(2
10、)直线 l 过点 P(1,2)且到点 A(2,3)和点 B(4,5)的距离相等，则直线 l 的方程为_解析(1)法一 由方程组ykx2k1，y12x2，基础诊断考点突破课堂总结解得 x24k2k1，y6k12k1.(若 2k10，即 k12，则两直线平行)交点坐标为24k2k1，6k12k1.又交点位于第一象限，24k2k10，6k12k10，解得16k12.基础诊断考点突破课堂总结法二 如图，已知直线y12x2与 x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)而直线方程 ykx2k1 可变形为 y1k(x2)，表示这是一条过定点 P(2,1)，斜率为 k 的动直线基础诊断考点突破课堂总结两直
11、线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段 AB 上(不包括端点)，动直线的斜率 k 需满足 kPAkkPB.kPA16，kPB12.16k12.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxyk20.由题意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21，即|3k1|3k3|，k13.直线 l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50.当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意基础诊断考点突破课堂总结法二 当 ABl 时，有 kkAB13，直线 l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50.当 l 过 AB 中点
12、时，AB 的中点为(1,4)直线 l 的方程为 x1.故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1.答案(1)16，12 (2)x3y50 或 x1基础诊断考点突破课堂总结考点三 对称问题【例3】已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解(1)设 A(x，y)，再由已知y2x1231，2x12 3y22 10，解得x3313，y 413，A3313，413.基础诊断考点突破课堂总结(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直
13、线 l 的对称点必在 m上设对称点为 M(a，b)，则2a223b0210，b0a2231，解得 M613，3013.设 m 与 l 的交点为 N，则由2x3y10，3x2y60，得 N(4,3)又m经过点 N(4,3)，由两点式得直线方程为 9x46y1020.基础诊断考点突破课堂总结(3)法一 在l：2x3y10上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l上易知M(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y90.法二 设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，P在直线l上，2(2x)3(4y)1
14、0，即2x3y90.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)点关于点的对称：求点P关于点M(a，b)的对称点Q的问题，主要依据M是线段PQ的中点，即xPxQ2a，yPyQ2b.(2)直线关于点的对称：求直线l关于点M(m，n)的对称直线l的问题，主要依据l上的任一点T(x，y)关于M(m，n)的对称点T(2mx,2ny)必在l上(3)点关于直线的对称：求已知点A(m，n)关于已知直线l：ykxb的对称点A(x0，y0)的坐标，一般方法是依据l是线段AA的垂直平分线，列出关于x0，y0的方程组，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程(4)直线关于直线的对称：此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决
15、，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行基础诊断考点突破课堂总结【训练3】光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程解 法一 由x2y50，3x2y70，得x1，y2.反射点 M 的坐标为(1,2)基础诊断考点突破课堂总结反射点 M 的坐标为(1,2)又取直线 x2y50 上一点 P(5，0)，设 P 关于直线 l 的对称点 P(x0，y0)，由 PPl 可知，kPP23 y0 x05.而 PP的中点 Q 的坐标为x052，y02，Q 点在 l 上，3x0522y0270.基础诊断考点突破课堂总结由 y0 x0523，32x0
16、5y070.得x01713，y03213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为 29x2y330.基础诊断考点突破课堂总结法二 设直线 x2y50 上任意一点 P(x0，y0)关于直线 l 的对称点为 P(x，y)，则y0yx0 x23，又 PP的中点 Qxx02，yy02在 l 上，3xx022yy0270，由y0yx0 x23，3xx02yy070.基础诊断考点突破课堂总结可得 P 点的横、纵坐标分别为x05x12y4213，y012x5y2813，代入方程 x2y50 中，化简得 29x2y330，所求反射光线所在的直线方程为 29x2y330.基础诊断考点突破课堂总结微
17、型专题 直线系方程的灵活应用直线系指具有某一共同性质的直线的集合，它有多种不同的情况，其中以过两条直线交点的直线系为主利用直线系方程可以降低运算难度，使解题的过程更加简捷，因此在高考中这类问题也可能会成为考查的重点基础诊断考点突破课堂总结【例4】已知直线l与点A(3,3)和B(5,2)的距离相等，且过两直线l1：3xy10和l2：xy30的交点，求直线l的方程点拨 不需要解两直线l1与l2的交点，可设直线l为：3xy1(xy3)0，再分两种情况分别求解解 根据条件可设直线l的方程为3xy1(xy3)0，即(3)x(1)y310；直线l与点A(3,3)和B(5,2)的距离相等可分为两种情况：基础
18、诊断考点突破课堂总结(1)当直线 l 与 A，B 的连线平行时，可知 kAB323512，则3112，解得 7，此时直线 l 的方程为 x2y50；(2)当直线 l 过线段 AB 的中点 M4，52 时，将点 M4，52 代入直线l 的方程，可得 4(3)52(1)310，解得 177，此时直线 l 的方程为 x6y110.综上，可知所求直线 l 的方程为 x2y50 或 x6y110.基础诊断考点突破课堂总结点评 一般情况下，若两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20有交点，则过l1与l2的交点的直线系方程可设为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不含l2)，利用这一结
19、论可以避免求交点时解方程组带来的麻烦基础诊断考点突破课堂总结思想方法1两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.2对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称利用坐标转移法3光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称基础诊断考点突破课堂总结易错防范1在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑2使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式，同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适用；使用两平行线间的距离公式时一定要注意先把两直线方程中的x，y的系数化成相等
