1、2013年全国高校自主招生数学模拟试卷五命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳一选择题(本题满分36分，每小题6分)1设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cosq=0有重根，则q的弧度数为 ( ) A B或 C或 D2已知M=(x，y)|x2+2y2=3，N=(x，y)|y=mx+b若对于所有的mR，均有MN，则b的取值范围是 ( ) A， B(，) C(， D， 3不等式+logx3+20的解集为 A2，3) B(2，3 C2，4) D(2，4 4设点O在DABC的内部，且有+2+3=，则DABC的面积与DAOC的面积的比为( ) A2 B C3 D 5设三位数n=，若以a，b，c为
2、三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( ) A45个 B81个 C165个 D216个6顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，ABOB，垂足为B，OHPB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥OHPC的体积最大时，OB的长为 ( ) A B C D 二填空题(本题满分54分，每小题9分)7在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ；8设函数f：RR，满足f(0)=1，且对任意x，yR，都有f(
3、xy+1)=f(x)f(y)f(y)x+2，则f(x)= ；9如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1A1的度数是 ；10设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k= ；11已知数列a0，a1，a2，an，满足关系式(3an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是 ；12在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标为 ；三解答题(本题满分60分，每小题20分)13一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关问： 某人在这项游戏中最多能过几关
4、？ 他连过前三关的概率是多少？14在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项 求点P的轨迹方程； 若直线L经过DABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围15已知a，b是方程4x24tx1=0(tR)的两个不等实根，函数f(x)=的定义域为a，b 求g(t)=maxf(x)minf(x)； 证明：对于ui(0，)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则+2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一选择题(本题满分36分，每小题6分)1设锐角q使
5、关于x的方程x2+4xcosq+cotq=0有重根，则q的弧度数为 ( ) A B或 C或 D解：由方程有重根，故D=4cos2qcotq=0， 0q0的解集为 A2，3) B(2，3 C2，4) D(2，4 解：令log2x=t1时，t2t1，2)，x2，4)，选C4设点O在DABC的内部，且有+2+3=，则DABC的面积与DAOC的面积的比为( ) A2 B C3 D 解：如图，设DAOC=S，则DOC1D=3S，DOB1D=DOB1C1=3S，DAOB=DOBD=1.5SDOBC=0.5S，DABC=3S选C5设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样
6、的三位数n有( ) A45个 B81个 C165个 D216个解：等边三角形共9个； 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a，b)，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，ba0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ；解：f(x)= sin(ax+j)，周期=，取长为，宽为2的矩形，由对称性知，面积之半即为所求故填又解：1sin(ax+j)dx=(1sint)dt=8设函数f：RR，满足f(0)=1，且对任意x，yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)f(y)x+2，则f(x)= ；解：令x=y=0，得，f(1)=110
7、+2，f(1)=2令y=1，得f(x+1)=2f(x)2x+2，即f(x+1)=2f(x)x又，f(yx+1)=f(y)f(x)f(x)y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)f(x)1+2，即f(x+1)=f(x)+1比较、得，f(x)=x+19如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1A1的度数是 ；解：设AB=1，作A1MBD1，ANBD1，则BNBD1=AB2，BN=D1M=NM=A1M=AN= AA12=A1M2+MN2+NA22A1MNAcosq，12=+2cosq，cosq=q=6010设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k= ；解：设=n，则(
8、k)2n2=，(2kp+2n)(2kp2n)=p2，k=(p+1)211已知数列a0，a1，a2，an，满足关系式(3an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是 ；解：=+，令bn=+，得b0=，bn=2bn1，bn=2n即=，=(2n+2n3)12在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标为 ；解：当MPN最大时，MNP与x轴相切于点P(否则MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P使MPN更大)于是，延长NM交x轴于K(3，0)，有KMKN=KP2，KP=4P(1，0)，(7，0)，但(1，0)处MNP的半径小，从
9、而点P的横坐标=1三解答题(本题满分60分，每小题20分)13一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关问： 某人在这项游戏中最多能过几关？ 他连过前三关的概率是多少？解： 设他能过n关，则第n关掷n次，至多得6n点，由6n2n，知，n4即最多能过4关 要求他第一关时掷1次的点数2，第二关时掷2次的点数和4，第三关时掷3次的点数和8第一关过关的概率=；第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件有为不等式x+y4的正整数解的个数，有C个 (亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关的概率=1=；第三
10、关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x+y+z8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C=56种，不能过关的概率=，能过关的概率=；连过三关的概率=14在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项 求点P的轨迹方程； 若直线L经过DABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围解： 设点P的坐标为(x，y)，AB方程：+=1，4x3y+4=0， BC方程：y=0， AC方程：4x+3y4=0， 25|y|2=|(4x3y+4)(4x+3y4)|，
11、25y2+16x2(3y4)2=0，16x2+16y2+24y16=0，2x2+2y2+3y2=0或25y216x2+(3y4)2=0，16x234y2+24y16=0，8x217y2+12y8=0 所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y2=0， 或双曲线：8x217y2+12y8=0 但应去掉点(1，0)与(1，0) DABC的内心D(0，)：经过D的直线为x=0或y=kx+ (a) 直线x=0与圆有两个交点，与双曲线没有交点；(b) k=0时，直线y=与圆切于点(0，)，与双曲线交于(，)，即k=0满足要求(c) k=时，直线与圆只有1个公共点，与双曲线也至多有1个公共点，故舍去(c) k0时
12、，k时，直线与圆有2个公共点，以代入得：(817k2)x25kx=0当817k2=0或(5k)225(817k2)=0，即得k=与k= 所求k值的取值范围为0，15已知a，b是方程4x24tx1=0(tR)的两个不等实根，函数f(x)= 的定义域为a，b 求g(t)=maxf(x)minf(x)； 证明：对于ui(0，)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则+解： a+b=t，ab=故a0当x1，x2a，b时， f (x)= =而当xa，b时，x2xt0，即f(x)在a，b上单调增 g(t)= = = g(tanu)= =， +163+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3)= 759(sin2u1+sin2u2+sin2u3)而(sin2u1+sin2u2+sin2u3)()2，即9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)3+(753)= 由于等号不能同时成立，故得证