1、章末综合提升 第二章 直线和圆的方程 巩固层知识整合 NO.1提升层题型探究 NO.2类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型1 求直线的方程求直线方程时，一是根据题目条件确定点和斜率或者确定两点，进而套用直线方程的几种形式，此法可称为直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含有参数或待定系数)，再确定方程(即求出参数值)，此时求直线方程的方法可称为间接法(即为待定系数法)，这是最常见的方法【例1】已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在的直线方程为x2y50.求：(1)AC所在的直线的方程；(2)点B
2、的坐标解(1)因为ACBH，所以设AC所在的直线的方程为2xyt0.把A(5,1)代入直线方程2xyt0中，解得t11.所以AC所在的直线的方程为2xy110.(2)设B(x0，y0)，则AB的中点为x052，y012.联立得方程组x02y050，2x052y01250.化简得x02y050，2x0y010.解得x01，y03.故B(1，3)跟进训练1已知ABC中，A(1,3)，AB，AC边上中线所在直线方程分别为x2y10和y10，求ABC各边所在的直线方程.解 设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E为中点，点B在中线y10上，设点B的坐标为(xB,1)点D为AB的中点，又点A的
3、坐标为(1,3)，点D的坐标为xB12，2.点D在中线CD：x2y10上，xB122210，xB5.点B的坐标为(5,1)点C在直线x2y10上，设点C的坐标为(2t1，t)AC的中点E的坐标为t，t32.点E在中线BE：y1上，t32 1，t1.点C的坐标为(3，1)，ABC各边所在直线的方程为AB：x2y70，BC：x4y10，AC：xy20.类型2 两条直线的位置关系(1)两条直线的位置关系如下表所示 项目斜截式一般式 方程 yk1xb1，yk2xb2 A1xB1yC10，A2xB2yC20 相交k1k2A1B2A2B10 项目斜截式一般式 垂直k1k21A1A2B1B20 平行k1k2
4、且b1b2A1B2A2B10，B1C2B2C10或A1B2A2B10，A1C2A2C10 重合k1k2且b1b2A1B2A2B1B1C2B2C1A1C2A2C10(2)与直线AxByC0平行的直线方程为AxBym0(mC)，与直线AxByC0垂直的直线方程为BxAyn0.【例2】已知两条直线l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的a，b的值(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等解(1)l1l2，a(a1)(b)10.即a2ab0.又点(3，1)在l1上，3ab40.由解得a2，b2.(2
5、)l1l2且l2的斜率为1a，l1的斜率也存在，ab1a，即b a1a.故l1和l2的方程可分别表示为 l1：(a1)xy4a1a0，l2：(a1)xy a1a0.原点到l1与l2的距离相等，4a1aa1a，解得a2或a23.因此a2，b2，或a23，b2.跟进训练2(1)“a1”是“直线(2a1)xay10和直线ax3y30垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)已知直线l1：mx4y20与l2：2x5yn0互相垂直，共垂足为(1，p)，则mp_，n_.(1)A(2)8 12(1)当a1时，直线(2a1)xay10的斜率为3，直线ax3y30的斜率
6、为 13，两直线垂直；当两直线垂直时，可得a(2a1)3a0，解得a0或1，所以“a1”是“直线(2a1)xay10和直线ax3y30垂直”的充分不必要条件故选A(2)直线mx4y20与2x5yn0垂直，m4 25 1m10.直线mx4y20即5x2y10，垂足为(1，p)代入得52p10，p2，mp8，把(1，2)代入2x5yn0可得n12.类型3 距离问题解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合三种距离是高考考查的热点，公式如下表：类型已知条件公式 两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|x2x12y2y12 类型已知条件公式 点到直线的距离P(x0
7、，y0)l：AxByC0(A2B20)，d|Ax0By0C|A2B2(A2B20)两平行直线的距离l1：AxByC10，l2：AxByC20(A2B20，C1C2)d|C2C1|A2B2【例3】直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3 2，求直线l的方程解 当直线过原点时，设所求直线方程为kxy0，则|4k3|1k23 2.解得k3 1426，y3 1426 x.当直线不经过原点时，设所求直线方程为xya，则|43a|23 2，解得a13或a1，xy130或xy10.综上，所求直线方程为y3 1426 x或xy130或xy10.跟进训练3已知直线l经过直线2xy50与x2
8、y0的交点(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为2xy5(x2y)0,即(2)x(12)y50，所以|1055|221223，即22520，所以12或2.所以l的方程为x2或4x3y50.(2)由2xy50，x2y0，解得交点P(2,1)，过P作任一直线l(图略)，设d为点A到l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)所以dmax|PA|10.类型4 对称问题(1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这
9、类问题的关键(2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：两点连线与已知直线斜率乘积等于1；两点的中点在已知直线上(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的我们往往利用平行直线系去求解【例4】光线通过点A(2,3)，在直线l：xy10上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程解 设点A(2,3)关于直线l的对称点为A(x0，y0)，则2x023y0210，y03x021.解之得，A(4，3)由于反射光线经过点A(4，3)和B(1,1)，所以反射光线所在直线的方程为 y1
10、(x1)1314，即4x5y10.解方程组4x5y10，xy10，得反射点P23，13.所以入射光线所在直线的方程为 y3(x2)313223，即5x4y20.综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x4y20,4x5y10.1在本例条件不变的情况下，求光线从A经反射后到达B点所经过的路程解 由本例解析知，点A(2,3)关于直线l的对称点为A(4，3)所以从A发出光线经l反射后到达B的路程为|AB|.即|AB|412312 41.2把本例条件中“直线l：xy10”改为“直线l为x轴”，其他条件不变，试求入射光线和反射光线所在直线的方程解 点A(2,3)关于x轴对称点为A(2，3)反射光线
11、方程为y313x212，即4xy50.又反射光线与x轴交点为54，0.入射光线方程为y030 x54254，即4xy50.类型5 求圆的方程求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解【例5】一个圆C和已知圆x2y22x0相外切，并与直线l：x
12、 3y0相切于点M(3，3)，求圆C的方程解 由x2y22x0得(x1)2y21，故其圆心为(1,0)，半径为1.圆C与圆x2y22x0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又圆C与直线l：x 3y0相切于点M(3，3)，可得圆心与点M(3，3)的连线与直线x3 y0垂直，其斜率为 3.设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，则 b 3a3 3，a12b21r，r|a 3b|2，解得a4，b0，r2或a0，b4 3，r6，圆C的方程为(x4)2y24或x2(y4 3)236.跟进训练4已知直线l经过两条直线2xy30和4x3y50的交点，且与直线xy20垂直(1)求直线l的方程；(2)若圆C过
13、点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为2 2，求圆C的标准方程解(1)由2xy30，4x3y50解得两直线交点为(2,1)，l与xy20垂直，kl1.又l过点(2,1)，l的方程y1x2即xy10.(2)设圆C的标准方程为(xa)2y2r2(a0)，则1a2r2，|a1|222r2，解得a3，r2.圆C的标准方程为(x3)2y24.类型6 直线与圆的位置关系判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d，然后比较所求距离d与半径r的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系【例6】如图，在平面直角坐标系x
14、Oy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程解 圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，于是圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为40202.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心M到直
15、线l的距离 d|267m|5|m5|5.因为BCOA 22422 5，而MC2d2BC22，所以25m5255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.跟进训练5已知直线l：2mxy8m30和圆C：x2y26x12y200.(1)mR时，证明l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长解(1)证明：直线的方程可化为y32m(x4)，由点斜式可知，直线过点P(4,3)由于42(3)26412(3)20150，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交(2)如图，当圆心C(3,6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短 此时PCl，所以直线l的斜率为13，所以m1
16、6.在APC中，|PC|10，|AC|r5，所以|AP|2|AC|2|PC|2251015，所以|AP|15，所以|AB|2 15，即最短弦长为2 15.类型7 圆与圆的位置关系判断两圆位置关系的两种方法比较：(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系【例7】已知圆C1：x2y24x4y50与圆C2：x2y28x4y70.(1)
17、证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程解(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x2)2(y2)213，(x4)2(y2)213.圆心与半径长分别为C1(2,2)，r1 13；C2(4，2)，r2 13.因为|C1C2|2422222 13r1r2，所以圆C1与圆C2相切 由x2y24x4y50，x2y28x4y70，得12x8y120，即3x2y30，就是过切点的两圆公切线的方程(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为 x2y24x4y5(3x2y3)0.点(2,3)在此圆上，将点坐标代入方程解得43.所以所求圆的方
18、程为x2y24x4y5 43(3x2y3)0，即x2y28x203 y90.跟进训练6.在平面直角坐标系xOy中，过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2y24交于点A，B，与圆M：(x2)2(y1)21交于点C，D若AB3 72，求CD的长解 因为AB3 72，圆O半径为2，所以点O到直线AB的距离为 14，显然AB，CD都不平行于坐标轴 可知AB：ykx1，即kxy10.则点O到直线AB的距离d1k2114，解得k 15.因为ABCD，所以kCD1k，所以CD：y1kx1，即xkyk0.点M(2,1)到直线CD的距离d2k2112，所以CD2 1d221122 3.体验层真题感
19、悟 NO.31 3 5 2 4 1(2020全国卷)已知圆x2y26x0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A1 B2 C3 D41 3 5 2 4 B 将圆的方程x2y26x0化为标准方程(x3)2y29，设圆心为C，则C(3,0)，半径r3.设点(1,2)为点A，过点A(1,2)的直线为l，因为(13)2220)，所以(2a)2(1a)2a2，即a26a50，解得a1或a5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，所以圆心到直线2xy30的距离为|2113|2212 2 55或|2553|2212 2 55，故选B3 1 2 4 5 3(2020全国卷)点(0，1)到
20、直线yk(x1)距离的最大值为()A1B 2C 3D2B 记点A(0，1)，直线yk(x1)恒过点B(1,0)，当AB垂直于直线yk(x1)时，点A(0，1)到直线yk(x1)的距离最大，且最大值为|AB|2，故选B4 1 2 3 5 4(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6B4,8C 2，3 2D2 2，3 24 1 2 3 5 A 圆心(2,0)到直线的距离d|202|222，所以点P到直线的距离d12，32 根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|22，所以ABP的面积S 12|AB|d1 2d1.因为d1 2，3 2，所以S2,6，即ABP面积的取值范围是2,62 4 5 1 3 5(2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.22 由题意知圆的方程为x2(y1)24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为2，则圆心到直线yx1的距离d|11|22，所以|AB|2 22 222 2.点击右图进入 章 末 综 合 测 评 谢谢观看 THANK YOU!
