1、学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1(2016河南中原联考)过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m，n，则等于()A.BC2aD【解析】抛物线yax2(a0)的标准方程x2y2p，p，4a.【答案】B2(2016全国甲卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A.B1 CD2【解析】y24x，F(1,0)又曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y(k0)得k2.故选D.【答案】D3设O是坐标原点，F是抛物线y22px(p0)的焦点，A是抛物
2、线上的一点，与x轴正向的夹角为60，则|OA|为()A.pBpC.pDp【解析】如图所示，设A(x0，y0)，|FB|m，AFB60，|AF|2m，|AB|m，由抛物线的定义|AF|x0mp2mmp，mp，A，|OA|p.【答案】B4过点P(4,4)与抛物线y22x只有一个公共点的直线有()A0条B1条C2条D3条【解析】当直线斜率不存在时，直线与抛物线有两个不同交点，不符合题意，故设直线方程为y4k(x4)，由得：ky22y88k0.当k0时，解得：y4，故直线与抛物线交于点(8,4)，当k0时，由44k(88k)0得：k，故有两条直线与抛物线相切，故符合条件的直线有3条【答案】D5设F为抛
3、物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|()A9B6C4D3【解析】设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，由0，得xAxBxC3.|xAxBxC3p326.【答案】B二、填空题6已知抛物线的离心率为e，焦点为(0，e)，则抛物线的标准方程为_【解析】由e1，得焦点为(0,1)，抛物线的标准方程为x24y.【答案】x24y7已知A(2,0)，点B为抛物线y2x上的一点，求|AB|的最小值为_【解析】设点B(x，y)，则xy20，所以|AB|，所以当x时，|AB|取得最小值，且|AB|的最小值为.【答案】8(2016长沙高二检测)已知定点A(3,0)，B(3,0
4、)，动点P在抛物线y22x上移动，则的最小值等于_【导学号：32550080】【解析】设P(x0，y0)则y2x0，x00，(3x0，y0)(3x0，y0)xy9x2x09，当x00时，min 9.【答案】9三、解答题9抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程【解】椭圆1的短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴设抛物线的标准方程为y22px或y22px(p0)，抛物线的焦点到顶点的距离为3，3，即p6.抛物线的方程为y212x或y212x，准线方程分别为x3或x3.10若抛物线y22px(p0)上有一点M到准线及对称轴的距离分别为10
5、和6，求点M的横坐标【解】点M到对称轴的距离为6，设点M的坐标为(x，6)点M到准线的距离为10，解得或，即点M的横坐标为1或9.能力提升1过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O为原点，若|AF|3，则AOB的面积为()A.BC.D2【解析】设AFx(0)及|BF|m，则点A到准线l：x1的距离为3，得323cos ，则cos .又m2mcos ()，则m，所以AOB的面积为SAOB|OF|AB|sin 1(3).【答案】C2如图322，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()图3
6、22Ay29xBy26xCy23xDy2x【解析】如图，分别过A，B作AA1l于点A1，BB1l于点B1，由抛物线的定义知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，AFx60，连接A1F，则AA1F为等边三角形，过点F作FF1AA1于点F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于点K，则|KF|A1F1|AA1|AF|，即p，抛物线方程为y23x，故选C.【答案】C3(2016山东济南期末考试)已知定点Q(2，1)，F为抛物线y24x的焦点，动点P为抛物线上任意一点，当|PQ|PF|取最小值时，P的坐标为_【解析】设点P在准线上的射影为D，则根据
7、抛物线的定义可知|PF|PD|，要使|PQ|PF|取得最小值，即需D，P，Q三点共线时|PQ|PF|最小将Q(2，1)的纵坐标代入y24x得x，故P的坐标为.【答案】4过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点点C在抛物线的准线上，且BCx轴求证：直线AC经过原点O.【证明】如图，抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线AB的方程可设为xmy，代入抛物线方程得y22pmyp20，若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2p2.BCx轴，且点C在准线x上，点C的坐标为，故直线CO的斜率为k，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.
