1、2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 第2课时 直线与圆的方程的应用 第二章 直线和圆的方程 学 习 任 务核 心 素 养 1.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题(重点)2.会用“数形结合”的数学思想解决问题(难点)通过直线与圆的位置关系的应用，提升直观想象、数学运算及逻辑推理素养.情境导学探新知 NO.1知识点 有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m当水面下降1 m后，水面宽多少米？如何才能正确地解决上述问题？知识点 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何
2、元素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题第二步：通过代数运算，解决代数问题第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是()Ax2y225 Bx2y225(y0)C(x5)2y225(y0)D随建立直角坐标系的变化而变化 D 没有建立平面直角坐标系，因此圆的方程无法确定，故选D合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型1 直线与圆的方程的实际应用【例1】(对接教材P93例题)某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？解 建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上依题意，有
3、 A(10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(5,0)，E(5,0)设这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2(yb)2r2(r0)，则有102b2r2，02b42r2，解得b10.5，r14.5，所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2(y10.5)214.52(0y4)把点D的横坐标x5代入上式，得y3.1.由于船在水面以上高3 m,33.1，所以该船可以从桥下通过试总结应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤提示(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；(4)还原：将运算结果还
4、原到实际问题中去跟进训练1台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为_小时1 如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，取MN的中点E，连接BE，BN，BM，则BEMN，BNBM，ABE为等腰直角三角形，因为AB40，所以BE202 km，在RtBEN中，NE BN2BE210，则|MN|20，所以时间为1 h类型2 直线与圆的综合性问题【例2】(1)圆：x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离的最
5、大值是()A2 B1 2 C1 22 D12 2(2)已知圆M与直线x2相切，圆心在直线xy0上，且直线xy20被圆M截得的弦长为2 2，则圆的方程为_(1)B(2)x2y24(1)圆：x2y22x2y10化为标准方程得(x1)2(y1)21，所以圆心为(1,1)，半径为1.所以圆心(1,1)到直线xy2的距离d|112|2 2，则所求距离的最大值为1 2.(2)因为圆心在直线xy0上，所以设圆心M(a，a)，因为圆M与直线x2相切，且直线xy20被圆M截得的弦长为2 2，所以r|a2|，2|a1|2 r22，解得a0，r2，所以圆的方程为x2y24.已知直线和圆的位置关系求圆的方程已知直线与
6、圆的位置关系求圆的方程时，可将位置关系中的等量关系作为确定圆心和半径或圆的方程中待定系数的已知条件，从而求解出圆的方程 基本步骤为：设所求圆的方程根据已知位置关系或数量关系建立方程解出参数并检验确定圆的方程跟进训练2(1)M为圆x2y21上的动点，则点M到直线l：3x4y100的距离的最大值为_(2)一圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且直线yx被圆所截得的弦长为2 7，则此圆的方程为_(1)3(2)(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29(1)圆x2y21的圆心O(0,0)到直线3x4y100的距离为d|0010|3242 2，又圆的半径r1，故M点到直线l的最大距离为dr213.(
7、2)因为圆与y轴相切，且圆心在直线x3y0上，所以设圆心坐标为(3b，b)，圆的半径为3|b|，故圆的方程为(x3b)2(yb)29b2.又因为直线yx被圆所截得的弦长为27，所以|3bb|22(7)29b2，解得b1，故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.类型3 与圆有关的最值问题【例3】已知点P(x，y)在圆C：x2y26x6y140上(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y22x3的最大值与最小值；(3)求xy的最大值与最小值式子 ybxa，xa2yb2，taxby各有什么几何意义？根据几何意义，能否求各式的最值？解 方程x2y26x6y140可化为(x3)
8、2(y3)24.(1)yx 表示圆上的点P与原点连线的斜率，如图(1)，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小设切线方程为ykx(由题意知，斜率一定存在)，即kxy0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径长，可得|3k3|k21 2，解得k 92 145，所以 yx 的最大值为92 145，最小值为92 145.(2)x2y22x3(x1)2y22，它表示圆上的点P到E(1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，式子取得最大值或最小值如图(2)，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|CE|2，点P与点E距离的最小值为|CE|2.又|CE|312
9、32 5，所以x2y22x3的最大值为(52)2251，最小值为(52)2211.(3)设xyb，则b表示动直线yxb在y轴上的截距，如图(3)，显然当动直线yxb与圆(x3)2(y3)24相切时，b取得最大值或最小值 此时圆心C(3,3)到切线xyb的距离等于圆的半径长2，则|33b|1212 2，即|6b|22，解得b622，所以xy的最大值为62 2，最小值为62 2.(1)(2)(3)与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t ybxa 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值；(2)形如taxby形式的最值
10、问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题跟进训练3已知实数x，y满足方程(x2)2y23.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解 方程(x2)2y23表示以点(2,0)为圆心(1)3为半径的圆，设yxk，即ykx0，当直线ykx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时|2k0|k21 3，解得k 3.故yx的最大值为 3，最小值为 3.(2)设yxb，即xyb0，当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时|20b|1212 3，即b2 6.故yx
11、的最大值为2 6，最小值为2 6.(3)x2y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2 3)274 3，(x2y2)min(2 3)274 3.当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1已知直线l：xy40与圆C：(x1)2(y1)22，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为()A 2 B 3 C1 D3A 由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即|114|1212 2 2.2 1 3 4 5 2一辆货车宽1.6米，要经过一个半
12、径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为()A2.4米B3.5米C3.6米D2.0米2 1 3 4 5 B 以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系 易知半圆所在的圆的方程为x2y23.62(y0)，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x0.8或x0.8，代入x2y23.62，得y3.5(负值舍去)3 1 2 4 5 3已知圆C与直线yx及xy40都相切，圆心在直线yx上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)223 1 2 4 5
13、 D 由题意可设圆心坐标为(a，a)，则|aa|2|aa4|2，解得a1，所以圆心坐标为(1，1)，又|4|22r，所以r 2，所以圆的方程为(x1)2(y1)22，故选D4 1 2 3 5 4已知实数x，y满足方程x2y24x4y70，则yx的最小值是_ 2 方程x2y24x4y70可化为(x2)2(y2)21，令yxb，则yxb，b是直线yxb在y轴上的纵截距，当直线yxb与圆相切时，b取得最大值和最小值，又圆心(2,2)则|22b|21，即|b|2，b 2，因此yx的最小值为 2.2 4 5 1 3 5已知圆O：x2y25和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为_254 点A(1,2)在圆x2y25上，过点A与圆O相切的切线方程为x2y5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，52，切线与坐标轴围成的三角形的面积为254.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)用直线和圆的方程解决实际问题的步骤是什么？提示 (2)与圆有关的最值问题有哪些类型？提示 形如u ybxa 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题 形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题 形如(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
