1、基础诊断考点突破课堂总结第6讲 立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.直线的方向向量及平面的法向量，B级要求；2.用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系，B级要求；3.用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理，B级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一向量作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 内两不共线向量，n 为平面 的法向量，则求法向量的方程组为na0，nb0.非零基础诊断考点突破课堂总结2用向量证明空间中的平行关系(1
2、)设直线l1和l2的方向向量分别为1和2，则l1l2(或l1与l2重合)v12.(2)设直线l的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量1和2，则l或l存在两个实数x，y，使.(3)设直线l的方向向量为，平面的法向量为u，则l或l0.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2.12 x1y2 u u u1u2 基础诊断考点突破课堂总结3用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为1和2，则l1l20.(2)设直线l的方向向量为，平面的法向量为u，则l.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则.12 12 u vu u1u2 u1u2 0 基础诊断考点突破课堂总结诊
3、断 自 测1思考辨析(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行()(4)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行 ()基础诊断考点突破课堂总结2(苏教版选修21P105T1(5)改编)平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k_.答案 4解析，两平面法向量平行，21 42 k2，k4.基础诊断考点突破课堂总结3已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，给出下列向量：(1,1,1)；(1，1,1)；33，33，33；33，33，33.则上述向量
4、是平面 ABC 法向量的是_(填序号)基础诊断考点突破课堂总结解析 设 n(x，y，z)为平面 ABC 的法向量，则 nAB0，nAC0，化简得xy0，xz0，xyz.故符合答案 基础诊断考点突破课堂总结4已知直线l的方向向量为(1,2,3)，平面的法向量为u(5,2，3)，则l与的位置关系是_解析 u0，u，l或l.答案 l或l基础诊断考点突破课堂总结5已知平面，的法向量分别为n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，则下列结论正确的序号为_；，相交但不垂直；以上均不对解析 n1n2，且n1n22(3)315(4)230，不平行，也不垂直答案 基础诊断考点突破课堂总结考点一 利用空间向量证明平
5、行问题【例 1】如 图 所 示，平 面 PAD 平 面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG.基础诊断考点突破课堂总结证明 平面PAD平面ABCD，且ABCD为正方形，AB，AP，AD两两垂直以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)法一 EF(0,1,0)，EG(1,2，1)，设平面 EFG 的法向量为 n(x，y，z)，则nEF0，nEG 0，即y0
6、，x2yz0，基础诊断考点突破课堂总结令 z1，则 n(1,0,1)为平面 EFG 的一个法向量，PB(2,0，2)，PBn0，nPB，PB面 EFG，PB平面 EFG.法二 PB(2,0，2)，FE(0，1,0)，FG(1,1，1)设PBsFEtFG，基础诊断考点突破课堂总结即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，t2，ts0，t2，解得 st2.PB2FE2FG，又FE与FG 不共线，PB，FE与FG 共面PB平面 EFG，PB平面 EFG.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行
7、，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算.基础诊断考点突破课堂总结【训练1】如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.设G是OC的中点，证明：FG平面BOE；基础诊断考点突破课堂总结证明 如图，连接OP，PAPC，O是AC的中点，POAC，又面PAC面ABC，PO面ABC，ABC是以AC为斜边的直角三角形，BOAC.所以以点O为坐标原点，分
8、 别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(0，8，0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，4,3)，F(4,0,3)基础诊断考点突破课堂总结由题意，得 G(0,4,0)因为OB(8,0,0)，OE(0，4,3)，设 n(x，y，z)为面 BOE 的法向量，则 nOB 0，nOE 0，x0，4y3z0，令 z4，得 y3.所以平面 BOE 的一个法向量 n(0,3,4)由FG(4,4，3)，得 nFG 0.又直线 FG 不在平面 BOE 内，所以 FG平面 BOE.基础诊断考点突破课堂总结考点二 利用空间向量
9、证明垂直问题【例2】(2015泰州质检)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.基础诊断考点突破课堂总结证明(1)如图所示，以 O 为坐标原点，以射线 OP 为 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Oxyz.则 O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)于是AP(0,3,4)，BC(8,0,0)，APBC(0,3,4)(8,0,0)0，所以APBC，即 APBC.基础诊断考点突破
10、课堂总结(2)由(1)知|AP|5，又|AM|3，且点 M 在线段 AP 上，AM 35AP0，95，125，又BA(4，5,0)，BM BAAM 4，165，125，则APBM(0,3,4)4，165，125 0，APBM，即 APBM，基础诊断考点突破课堂总结又根据(1)的结论知APBC，又BMBCB，AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BCM.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键(2)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；
11、证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行基础诊断考点突破课堂总结证明：A1C平面BB1D1D.【训练 2】(2013陕西卷改编)如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O平面 ABCD，ABAA1 2.基础诊断考点突破课堂总结证明 由题设易知 OA，OB，OA1 两两垂直，以 O 为原点建立空间直角坐标系，如图 ABAA1 2，OAOBOA11，A(1,
12、0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)由A1B1AB，易得 B1(1,1,1)基础诊断考点突破课堂总结A1C(1,0，1)，BD(0，2,0)，BB1(1,0,1)，A1C BD 0，A1C BB1 0，A1CBD，A1CBB1，又 BDBB1B，A1C平面 BB1D1D.基础诊断考点突破课堂总结考点三 利用空间向量解决探索性问题【例3】(2014鞍山二模)如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD，E为PD上一点，PE2ED.(1)求证：PA平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，
13、指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 PAAD1，PD 2，PA2AD2PD2，即 PAAD.又 PACD，ADCDD，PA平面 ABCD.(2)解 如图所示，以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，E0，23，13，AC(1,1,0)，AE0，23，13.基础诊断考点突破课堂总结设平面 AEC 的法向量为 n(x，y，z)，则 nAC0，nAE0，即xy0，2yz0，令 y1，则 n(1,1，2)假设侧棱 PC 上存在一点 F，且C
14、FCP(01)，使得 BF平面 AEC，则BFn0.又BFBCCF(0,1,0)(，)(，1，)，BFn120，12，存在点 F，使得 BF平面 AEC，且 F 为 PC 的中点.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”基础诊断考点突破课堂总结【训练3】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面
15、B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 以 A 为原点，AB，AD，AA1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设 ABa，则 A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，Ea2，1，0，B1(a,0,1)故 AD1 (0,1,1)，B1E a2，1，1，AB1 (a,0,1)，AE a2，1，0.AD1 B1E a2011(1)10，B1EAD1.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z0)，且 0z01，使得 DP平面 B1AE，此时DP(0，1，z0)又设平面
16、B1AE 的法向量 n(x，y，z)n平面 B1AE，nAB1，nAE，得axz0，ax2 y0.取 x1，得平面 B1AE 的一个法向量 n1，a2，a，基础诊断考点突破课堂总结要使 DP平面 B1AE，只要 nDP，有a2az00，解得 z012.又 DP平面 B1AE，存在点 P，满足 DP平面 B1AE，此时 AP12.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想基础诊断考点突破课堂总结2用向量知识证明
17、立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题基础诊断考点突破课堂总结易错防范1用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外2用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.
