1、2015-2016学年广东省东莞七中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如果复数a+bi（a，bR）在复平面内的对应点在第二象限，则（）Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b02若ab0，则下列结论正确的是（）Aa2b2Babb2CDaba+b3设z=xy，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为（）A1B1C3D34在等差数列an中，Sn为其前n项的和，a3+a5=14，则S7的值为（）A49B44C53D565变量x与变量y有如下对应关系x23456y2.23.85.56.57.0
2、则其线性回归直线必过定点（）A（3，5）B（4，5）C（5，6）D（6，6）6在ABC中，已知c=1，A=60，C=45，则ABC的面积为（）ABCD7在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）（n2，x1，x2，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A1B0CD18如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A720B360C240D1209函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）Ap是q的充分必要条件Bp是q的
3、充分条件，但不是q的必要条件Cp是q的必要条件，但不是q的充分条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件10设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）ABCD11下列关于复数的类比推理中，错误的是（）复数的加减运算可以类比多项式的加减运算；由向量的性质|2=2类比复数z的性质|z|2=z2；方程ax2+bx+c=0（a，b，cR）有两个不同实数根的条件是b24ac0，可以类比得到方程az2+bz+c=0（a，b，cC）有两个不同复数根的条件是b24ac0；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义ABCD12已知函数f
4、（x）=ax（a0，a1），其导函数为f（x），满足f（x）f（x）对于任意实数x恒成立，则（）Af（1）e，fe，fe，fe，f处的切线方程为14设a0，b0，若是2a与2b的一个等比中项，则ab的最大值为15设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A、B两点，若|AF|=3|BF|，则L的方程为16当n=1时，有（ab）（a+b）=a2b2当n=2时，有（ab）（a2+ab+b2）=a3b3当n=3时，有（ab）（a3+a2b+ab2+b3）=a4b4当nN*时，你能得到的结论是三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17已知复数z=1+i
5、，求实数a，b使az+2b=（a+2z）218以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积m21109080100120销售价格（万元）3331283439（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格（提示：，1102+902+802+1002+1202=51000，11033+9031+8028+10034+12039=16740）19某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：序号123456789101112131415161
6、7181920数学成绩9575809492656784987167936478779057837283物理成绩9063728791715882938177824885699161847886若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀（1）根据上表完成下面的22列联表（单位：人）：数学成绩优秀数学成绩不优秀 合 计物理成绩优秀物理成绩不优秀合 计20（2）根据题（1）中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？参考数据：假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表（称为22列联表）为：y1y2合计x1aba+bx2cdc+
7、d合计a+cb+da+b+c+d则随机变量，其中n=a+b+c+d为样本容量；独立检验随机变量K2的临界值参考表：P（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820已知数列an的各项均为正数，且满足a2=5，（1）推测an的通项公式；（2）若，令cn=an+bn，求数列cn的前n项和Tn21已知椭圆的右焦点F2与抛物线的焦点重合，左端点为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆C1的右焦点且斜率为的直线l2被椭圆C1截得的弦AB，试求它的长度
8、22设函数f（x）=exax2（）求f（x）的单调区间；（）若a=1，k为整数，且当x0时，（xk）f（x）+x+10，求k的最大值2015-2016学年广东省东莞七中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如果复数a+bi（a，bR）在复平面内的对应点在第二象限，则（）Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的几何意义和点所在的象限与坐标的关系即可得出【解答】解：复数a+bi（a，bR）在复平面内的对应点（a，b）在
9、第二象限，a0，b0故选D2若ab0，则下列结论正确的是（）Aa2b2Babb2CDaba+b【考点】不等式的基本性质【分析】由于ab0，可得a2b2，abb2，aba+b，即可得出【解答】解：ab0，a2b2，abb2，aba+b，可知：只有C正确故选：C3设z=xy，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为（）A1B1C3D3【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=xy表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，如图，当直线z=xy过点A（2，1）时，即当x=2，y=1时，zmin=1故选A4
10、在等差数列an中，Sn为其前n项的和，a3+a5=14，则S7的值为（）A49B44C53D56【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的下标和性质以及等差数列的前n项和公式解答即可【解答】解：因为等差数列an，所以a1+a7=a3+a5=14，所以S7的值为7（a1+a7）=49；故选A5变量x与变量y有如下对应关系x23456y2.23.85.56.57.0则其线性回归直线必过定点（）A（3，5）B（4，5）C（5，6）D（6，6）【考点】线性回归方程【分析】根据所给的数据，做出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，根据线性回归方程一定过样本中心点，得到结果【解答】解：=4， =5，这
11、组数据的样本中心点是（4，5）线性回归方程过样本中心点：（4，5）故选B6在ABC中，已知c=1，A=60，C=45，则ABC的面积为（）ABCD【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理、三角形面积计算公式即可得出【解答】解：在ABC中，由正弦定理可得： =，解得a=B=180AC=75sin75=sin（30+45）=，S=acsin75=故选：C7在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）（n2，x1，x2，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A1B0CD1【考点】相关系数【分析】所有样
12、本点（xi，yi）（i=1，2，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1【解答】解：由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，n）都在直线y=x+1上，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D8如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A720B360C240D120【考点】程序框图【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的k，的值，当有k=4，=360时不满足条件km，输出p的值为360【解答】解：执行程序框图，有n=6，m=4k=1，=1第一次执行循环体，=3满足条件km，第2次执行循环体，有k=2，=12满足条件km，第3次
13、执行循环体，有k=3，=60满足条件km，第4次执行循环体，有k=4，=360不满足条件km，输出p的值为360故选：B9函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）Ap是q的充分必要条件Bp是q的充分条件，但不是q的必要条件Cp是q的必要条件，但不是q的充分条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f（x）=3x2，由f（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极
14、值，充分性不成立根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C10设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】利用F2PF1是底角为30的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率【解答】解：F2PF1是底角为30的等腰三角形，|PF2|=|F2F1|P为直线x=上一点故选C11下列关于复数的类比推理中，错误的是（）复数的加减运算可以类比多项式的加减运
15、算；由向量的性质|2=2类比复数z的性质|z|2=z2；方程ax2+bx+c=0（a，b，cR）有两个不同实数根的条件是b24ac0，可以类比得到方程az2+bz+c=0（a，b，cC）有两个不同复数根的条件是b24ac0；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义ABCD【考点】类比推理【分析】复数的加减运算可以类比多项式的加减运算，由两者运算规则判断；由向量的性质|2=2类比复数z的性质|z|2=z2，由定义判断；方程ax2+bx+c=0（a，b，cR）有两个不同实数根的条件是b24ac0，可以类比得到方程az2+bz+c=0（a，b，cC）有两个不同复数根的条件是b24ac0，可
16、有两者运算特征进行判断；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，由两者加法的几何意义判断；【解答】解：复数的加减运算可以类比多项式的加减运算，两者用的都是合并同类项的规则，可以类比；由向量的性质|2=2类比复数z的性质|z|2=z2；两者属性不同一个是数，一个是即有大小又有方向的量，不具有类比性，故错误；方程ax2+bx+c=0（a，b，cR）有两个不同实数根的条件是b24ac0，可以类比得到方程az2+bz+c=0（a，b，cC）有两个不同复数根的条件是b24ac0，数的概念推广后，原有的概念在新的领域里是不是成立属于知识应用的推广，不是类比，故合理错误；由向量加法的几何意义可以
17、类比得到复数加法的几何意义，由两者的几何意义知，此类比正确；综上，是错误的故选C12已知函数f（x）=ax（a0，a1），其导函数为f（x），满足f（x）f（x）对于任意实数x恒成立，则（）Af（1）e，fe，fe，fe，f=，求导g（x）=，从而可得ae，从而解得【解答】解：令g（x）=，故g（x）=，f（x）f（x）对于任意实数x恒成立，g（x）0对于任意实数x恒成立，g（x）=在R上是增函数，故1，即ae，f（1）=ae，f曲线y=x33x2+1在点（1，1）处的切线方程为y=3x+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数y=x33x2+1在x=1处的导数值，这个导数值即
18、函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解即可【解答】解：由曲线y=x33x2+1，所以y=3x26x，曲线y=x33x2+1在点（1，1）处的切线的斜率为：y|x=1=3（1）26=3此处的切线方程为：y+1=3（x1），即y=3x+2故答案为：y=3x+214设a0，b0，若是2a与2b的一个等比中项，则ab的最大值为【考点】等比数列的通项公式【分析】是2a与2b的一个等比中项，可得a+b=1再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：是2a与2b的一个等比中项，2a2b=（）2=2，a+b=1又a0，b0，ab（）2=当且仅当a=b=时取等号ab的最大值为故答案是：15设抛
19、物线C：y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A、B两点，若|AF|=3|BF|，则L的方程为或【考点】抛物线的简单性质【分析】由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，求出A，B的横坐标，由|AF|=3|BF|得到x1=3x2+2，代入A，B的坐标得答案【解答】解：由y2=4x，得F（1，0），设AB所在直线方程为y=k（x1），联立，得k2x2（2k2+4）x+k2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），结合|AF|=3|BF|，解方程得：，再由|AF|=3|BF|，得x1+1=3（x2+1），即x1=3x2+2，解得：k=直线L的方程为y=或故答案为：或16当n=1时，有（a
20、b）（a+b）=a2b2当n=2时，有（ab）（a2+ab+b2）=a3b3当n=3时，有（ab）（a3+a2b+ab2+b3）=a4b4当nN*时，你能得到的结论是【考点】归纳推理【分析】根据所给信息，可知各个等式的左边两因式中，一项为（ab），另一项每一项的次数均为n1，而且按照字母a的降幂排列，故可得答案【解答】解：由题意，当n=1时，有（ab）（a+b）=a2b2；当n=2时，有（ab）（a2+ab+b2）=a3b3；当n=3时，有（ab）（a3+a2b+ab2+b3）=a4b4；当n=4时，有（ab）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）=a5b5；所以得到猜想：当nN*时，有（a
21、b）（an+an1b+abn1+bn）=anbn；故答案为：（ab）（an+an1b+abn1+bn）=an+1bn+1三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17已知复数z=1+i，求实数a，b使az+2b=（a+2z）2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件【分析】把所给的复数代入条件中的等式中，整理变化成复数的标准形式，根据复数相等的充要条件，写出关于a，b的方程组，解方程组得到a，b的值，解方程组比较特殊，需要两式相加【解答】解：z=1+i，az+2b=（a+2b）+（a2b）i（a+2z）2=（a+2）24+4（a+2）i=（a2+4a
22、）+4（a+2）i因为a，b都是实数，所以由得两式相加，整理得a2+6a+8=0解得a1=2，a2=4对应得b1=1，b2=2所求实数为a=2，b=1或a=4，b=218以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积m21109080100120销售价格（万元）3331283439（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格（提示：，1102+902+802+1002+1202=51000，11033+9031+8028+10034+12039=16740）【考点】线性回归方程；散点图；独立性检验【分析】（1）
23、根据表中所给的五对数据，在平面直角坐标系中描出这五个点，得到这组数据的散点图（2）根据表中所给的数据，求出横标和纵标的平均数，把求得的数据代入求线性回归方程的系数的公式，利用最小二乘法得到结果，写出线性回归方程（3）根据第二问求得的线性回归方程，代入所给的x的值，预报出销售价格的估计值，这个数字不是一个准确数值【解答】解：（1）数据对应的散点图如图所示：（2），回归直线方程为（3）据（2），当x=150m2时，销售价格的估计值为：（万元）19某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：序号12345678910111
24、21314151617181920数学成绩9575809492656784987167936478779057837283物理成绩9063728791715882938177824885699161847886若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀（1）根据上表完成下面的22列联表（单位：人）：数学成绩优秀数学成绩不优秀 合 计物理成绩优秀物理成绩不优秀合 计20（2）根据题（1）中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？参考数据：假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表（称为22列联表）为：y1y2合计x1a
25、ba+bx2cdc+d合计a+cb+da+b+c+d则随机变量，其中n=a+b+c+d为样本容量；独立检验随机变量K2的临界值参考表：P（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】独立性检验【分析】（1）直接查取数表，然后按要求把查取的数值填入22列联表；（2）由随机变量的计算公式算出随机变量K2的值，对照临界值表即可得到正确答案【解答】解：（1）22列联表为（单位：人）：数学成绩优秀数学成绩不优秀合 计物理成绩优秀 5 2
26、7物理成绩不优秀 1 12 13 合 计 6 14 20（2）提出假设H0：学生数学成绩与物理成绩之间没有关系根据列联表可以求得当H0成立时，P（K27.879）=0.005所以我们有99.5%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系答：我们有99.5%的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系20已知数列an的各项均为正数，且满足a2=5，（1）推测an的通项公式；（2）若，令cn=an+bn，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列递推式；数列的求和；归纳推理【分析】（1）由递推式求出前3项，以此作出推测即得通项公式；（2）由（1）易求cn，对各项分组后分别利用等差数列、等比数列的求和
27、公式即可求得Tn【解答】解：（1）由a2=5，an+1=an22nan+2，an0（nN*）知：a2=a122a1+2，故 a1=3，a3=a224a2+2=7，推测an=2n+1（nN*）；（2）由（1）知，Tn=（a1+b1）+（a2+b2）+（a3+b3）+（an+bn）=（a1+a2+a3+an）+（b1+b2+b3+bn）=3+5+7+（2n+1）+（1+2+4+2n1）=（n2+2n）+（2n1）=2n+n2+2n1所以数列cn的前n项和Tn为2n+n2+2n121已知椭圆的右焦点F2与抛物线的焦点重合，左端点为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆C1的右焦点且斜率为的直线l2被椭圆C
28、1截得的弦AB，试求它的长度【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由抛物线焦点可求得c值，由椭圆左端点可得a值，根据b2=a2c2可得b值；（2）由点斜式易求直线l2的方程，把l2的方程代入椭圆方程消掉y可得关于x的二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理及弦长公式即可求得弦AB的长；【解答】解：（1）因为抛物线的焦点为（2，0），所以c=2，又椭圆的左端点为（，0），所以a=，则b2=a2c2=，故所求椭圆方程为：；（2）因为椭圆的右焦点F（2，0），所以l2的方程为：y=（x2），代入椭圆C的方程，化简得，5x218x+15=0，设A（x1，y1），
29、B（x2，y2），由韦达定理知，x1x2=3，从而|x1x2|=，由弦长公式，得|AB|=，弦AB的长度为22设函数f（x）=exax2（）求f（x）的单调区间；（）若a=1，k为整数，且当x0时，（xk）f（x）+x+10，求k的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（xk） f（x）+x+10在x0时成立转化为k（x0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x0上的最小值问题，求导，确定出函数
30、的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=exax2的定义域是R，f（x）=exa，若a0，则f（x）=exa0，所以函数f（x）=exax2在（，+）上单调递增若a0，则当x（，lna）时，f（x）=exa0；当x（lna，+）时，f（x）=exa0；所以，f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增（II）由于a=1，所以，（xk） f（x）+x+1=（xk） （ex1）+x+1故当x0时，（xk） f（x）+x+10等价于k（x0）令g（x）=，则g（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=exx2在（0，+）上单调递增，而h（1）0，h（2）0，所以h（x）=exx2在（0，+）上存在唯一的零点，故g（x）在（0，+）上存在唯一的零点，设此零点为，则有（1，2）当x（0，）时，g（x）0；当x（，+）时，g（x）0；所以g（x）在（0，+）上的最小值为g（）又由g（）=0，可得e=+2所以g（）=+1（2，3）由于式等价于kg（），故整数k的最大值为22016年11月14日
