1、4平摆线和渐开线1.平摆线定义一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线).当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是，点M到达最高点(r，2r)，再滚动半周，点M到达(2r，0)，这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚动一周时，平摆线出现一个周期.平摆线上点的纵坐标最大值是2r，最小值是0，即平摆线的拱高为2r.2.平摆线轨迹的参数方程(，为参数)3.渐开线定义把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，那么铅笔会画出一条曲线，这条曲线叫圆的渐开线，这个圆叫作渐
2、开线的基圆.4.圆的渐开线的参数方程(其中为参数).【思维导图】【知能要点】1.平摆线，平摆线的参数方程.2.圆的渐开线，渐开线的参数方程.题型一平摆线在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解“一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假设圆周上定点M的起始位置是圆与定直线的切点O，圆保持与定直线相切向右滚动，点M就绕圆心B作圆周运动.如果点M绕圆心B转过弧度后，圆与直线相切于A，那么线段OA的长等于的弧长，即OAr；点M绕圆心B运动一周回到切点的位置E，那么OE的长恰等于圆周长.这就是所谓“无滑动地滚动”的意思.从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过程中，圆周上定
3、点M的位置可以有圆心角惟一确定，因此以为参数是非常自然的.摆线的参数方程也不能化为普通方程.【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数方程.解根据圆的摆线的参数方程的表达式 (为参数)可知，只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式.令r(1cos )0可得cos 1，所以2k (kZ)代入可得xr(2ksin 2k)1.所以r.又根据实际情况可知r是圆的半径，故r0.所以，应有k0且kZ，即kN.所以，所求摆线的参数方程是 (为参数) (其中kN).【反思感悟】 本题易错点是误把点(1
4、，0)中的1或0当成的值，代入参数方程中求出x和y的值，再计算r的值；或者在求出cos 1时，直接得出0，从而导致答案不全面.1.圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O，圆上点M起始处沿顺时针已偏转角.试求点M的轨迹方程.解xMrrcosrsin()，yMrrsinr1cos().题型二圆的渐开线渐开线要从其生成过程理解其简单性质，体会渐开线上动点所满足的几何条件，建立渐开线参数方程的关键是将“切线BM的长就是的长”用坐标表示出来.渐开线的参数方程不能化为普通方程.【例2】 求半径为4的圆的渐开线的参数方程.解以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标
5、系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OAAM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为(以弧度为单位)，则|AM|4.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角和向量知识，得(4cos ，4sin ).由几何知识知MAB，(4sin ，4cos )，得(4cos 4sin ，4sin 4cos )(4(cos sin )，4(sin cos ).又(x，y)，因此有这就是所求圆的渐开线的参数方程.【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系.用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：(1)建立合适的
6、坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y).(2)取定运动中产生的某一角度为参数.(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式.(4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程.2.写出半径为2的基圆的渐开线参数方程.解直接利用圆的渐开线的参数方程公式，方程为： (是参数).【例3】 已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和，求A、B两点的距离.分析首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A、B对应的参数代入参数方程可得对应的A、B两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A、B之间的距离.解根据条件可知圆的半径是1
7、，所以对应的渐开线参数方程是 (为参数)，分别把和代入，可得A、B两点的坐标分别为A，B.那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB| .即点A、B之间的距离为 .【反思感悟】 对于参数方程给出的曲线上点，可以求出点的坐标，转化为两点间的距离问题.3.已知圆的渐开线的参数方程是(为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数时对应的曲线上的点的坐标为_.解析圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当时对应的坐标只需把代入曲线的参数方程，x，y，由此可得对应的坐标为.答案21.若某圆的渐开线方程为 (为参数)，则此圆的方程是_，对应的0
8、的点的坐标是_，对应的的点的坐标是_.答案x2y24(2，0)(，2)2.曲线(是参数)的形状为()A.第一、三象限的平分线B.以原点为圆心，|a|为半径的圆C.以(a，a)，(a，a)为端点的线段D.以(a，a)，(a，a)为端点的线段解析xy0，yx.但是xa(cos sin)aasin，|a|x|a|，对应的曲线为yx(|a|x|a|)，亦即是以第一、三象限角平分线上的点(a，a)，(a，a)为端点的一段线段.答案D3.当时， 求出渐开线上对应的点A、B，并求出A、B间的距离.解代入渐开线方程，xcossin，ysincos1，点A的坐标为.同理xcos sin 1，ysin cos ，
9、点B的坐标为(1，).即|AB|.一、选择题1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.答案C2.已知一
10、个圆的参数方程为 (为参数)，那么圆的摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为()A.1 B. C. D. 解析根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为 (为参数)，把代入参数方程中可得即A，|AB| .答案C3.如图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是()A.3 B.4C.5 D.6解析根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2.所以曲线
11、AEFGH的长是5.答案C二、填空题4.渐开线 (为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为_.解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r6，其方程为x2y236，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为y236，整理可得1，这是一个焦点在x轴上的椭圆.c6，故焦点坐标为(6，0)和(6，0).答案(6，0)和(6，0)5.我们知道关于直线yx对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线 (为参数)关于直线yx对称的曲线的参数方程为_.解析关于直线yx对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出摆线方程
12、关于直线yx的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换.答案 (为参数)三、解答题6.有一个半径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M的轨迹方程.解如图：B点坐标为(2a，2a)，(asin ，acos )，设(x，y)，(2a，2a)(asin ，acos )(2aasin ，2aacos )，7.已知圆C的参数方程是 (为参数)和直线l对应的普通方程是xy60.(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么关系？(2)写出平移后圆的摆线方程；(3)求摆线和x轴的交点.解(1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线xy60的距离为d6，恰好等于圆的半
13、径，所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是(为参数).(3)令y0，得66cos 0cos 1，所以2k(kZ).代入x66sin ，得x12k(kZ)，即圆的摆线和x轴的交点为(12k，0) (kZ).8.设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴.解轨迹曲线的参数方程为(0t2).即t时，即x8时，y有最大值16.第一拱(0t2)的对称轴为x8.习题24(第47页)A组1.解(1)取点A的初始位置O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴，圆滚动的方向为正方向建立平面直角坐标系，设圆转动的角度为参数，则点A的轨迹方程为(2)令y0即cos 1，取0，2，得点A相邻两次着地点间的距离为24.2.(为参数)B组解如图，设圆的渐开线上任意一点M的极坐标为(，)，作直线MN和基圆相切于点N，连接OM，ON，以MON为参数，则在直角三角形OMN中，cos ，所以，.又tan .所以tan 这就得到圆的渐开线的极坐标参数方程(为参数).