1、基础诊断考点突破课堂总结第5讲 空间向量及其运算基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，A级要求；2.空间向量共线、共面的充分必要条件，B级要求；3.空间向量的线性运算及其坐标表示，空间向量的坐标表示，B级要求；4.空间向量的数量积及其坐标表示，用向量的数量积判断向量的共线和垂直，B级要求.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为的向量0单位向量长度(模)为的向量相等向量方向且模相等的向量ab相反向量方向且模的向量 a的相反向量为a共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相.ab共面向量平行于同一个的向量0
2、1相同相反相等平行或重合平面基础诊断考点突破课堂总结(2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p.空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序数对(x，y)使AP，或对空间任意点 O，有OP xOA yOB zOC，其中 xyz.2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得a.b xaybxAByAC1基础诊断考点突破课堂总结(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p
3、，把a，b，c叫做空间的一个基底xaybzc基础诊断考点突破课堂总结3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 两向量的夹角两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则叫 做 向 量a，b的数量积，记作，即ab已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OBb，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作，其范围是，若a，b2，则称 a 与b，记作 ab.a，b0a，b互相垂直|a|b|cosa，bab|a|b|cosa，b基础诊断考点突破课堂总结(2)空间向量数量积的运算律 结合律：(a)b；交换律：ab；分配律：a(bc).(ab)ba abac 基础诊断考点突破课堂总
4、结4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量表示坐标表示数量积ab共线ab(b0)垂直ab0(a0，b0)模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3a1b1a2b2a3b30a21a22a23基础诊断考点突破课堂总结(2)设点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段AB 的中点坐标为 .5.空间两点间的距离(1)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|.特别地，点 P(x，y，z)与坐标原点
5、O 的距离为|OP|.x2x12y2y12z2z12x2y2z2x1x22，y1y22，z1z22基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()基础诊断考点突破课堂总结2如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与B1D1 的交点若ABa，AD b，AA1c，则下列向量中与BM相等的向量是_(填序号)12a12bc；12a12bc；12a12bc；1
6、2a12bc.解析 BM BB1B1M AA112(AD AB)c12(ba)12a12bc.答案 基础诊断考点突破课堂总结3(2015南通调研)已知 A(1，1,3)，B(0,2,0)，C(1,0,1)，若点 D 在 z 轴上，且AD BC，则|AD|等于_解析 点 D 在 z 轴上，可设 D 点坐标为(0,0，m)，则AD(1,1，m3)，BC(1，2,1)，由AD BC，得AD BCm40，m4，AD(1,1,1)，|AD|111 3.答案 3基础诊断考点突破课堂总结4(苏教版选修21P97T15改编)已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k_.解析 k
7、ab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，kab 与 2ab 垂直，(kab)(2ab)0，即 3(k1)2k40，解得 k75.答案 75基础诊断考点突破课堂总结5正四面体ABCD棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为_解析|EF|2EF 2(ECCD DF)2EC 2CD 2DF 22(ECCD ECDF CD DF)122212212cos 120021cos 1202，|EF|2，EF 的长为 2.答案 2基础诊断考点突破课堂总结考点一 空间向量的线性运算【例 1】三棱锥 OABC 中，M、N 分别是 OA、BC 的中点，G是ABC 的重心，用基向量OA，OB，OC 表示
8、OG，MG.基础诊断考点突破课堂总结解 OG OA AGOA 23ANOA 23(ON OA)OA 2312(OB OC)OA 13OA 13OB 13OC，MG OG OM OG 12OA16OA 13OB 13OC.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)用向量进行运算和相互表示时，要有基向量意识，要把有关向量尽量统一到基向量上来(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可以用数乘(3)在空间向量运算中，要灵活运用向量加减法的运算法则，向量加法的多边形法则仍然适用基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】如图所
9、示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，设AA1a，ABb，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N.基础诊断考点突破课堂总结解(1)APAA1A1D1 D1PAA1 AD 12ABac12b.(2)法一 A1N A1A ABBNAA1 AB12AD ab12c.法二 A1N ANAA1 AB12BCAA1AB12AD AA1 ab12c.基础诊断考点突破课堂总结考点二 共线定理、共面定理的应用【例2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，
10、G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.基础诊断考点突破课堂总结证明(1)连接 BG，则EG EBBG EB12(BCBD)EBBFEH EFEH，由共面向量定理知：E，F，G，H 四点共面(2)因为EH AH AE12AD 12AB12(AD AB)12BD，因为 E，H，B，D 四点不共线，所以 EHBD.又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P，A，B，C 四点共面，只要能证明PAxPByPC，或对空间任一点 O，有OA OP xPByPC，或OP xOA yOB zOC(
11、xyz1)即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】如图空间两个平行四边形共边 AD，点 M，N 分别在对角线 BD，AE 上，且 BM13BD，AN13AE.求证：MN平面 CDE.基础诊断考点突破课堂总结证明 因为 M 在 BD 上，且 BM13BD，所以MB 13DB 13DA 13AB.同理AN13AD 13DE.所以MN MB BA AN 13DA 13AB BA 13AD 13DE 23BA13DE 23CD 13DE.又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN，CD，DE共面由于 MN 不在平面 CDE 内，所以
12、MN平面 CDE.基础诊断考点突破课堂总结考点三 空间向量数量积的应用【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 设ABp，ACq，AD r.由题意可知，|p|q|r|a，且 p、q、r 三向量两两夹角均为60.MN ANAM 12(ACAD)12AB12(qrp)，MN AB12(qrp)p12(qprpp2)12(a2cos 60a2cos 60a2)0.MN AB.即 MNAB.同理可证 MNCD.基础诊断考点
13、突破课堂总结(2)解 由(1)可知MN 12(qrp)，|MN|214(qrp)214q2r2p22(qrpqrp)14a2a2a22a22 a22 a22142a2a22.|MN|22 a.MN 的长为 22 a.基础诊断考点突破课堂总结(3)解 设向量AN与MC 的夹角为.AN12(ACAD)12(qr)，MC ACAM q12p，ANMC 12(qr)(q12p)12(q212qprq12rp)12(a212a2cos 60a2cos 6012a2cos 60)基础诊断考点突破课堂总结12(a2a24 a22 a24)a22.又|AN|MC|32 a，ANMC|AN|MC|cos 32
14、a 32 acos a22.cos 23.向量AN与MC 的夹角的余弦值为23，从而异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为23.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 数量积的应用(1)求夹角：设向量 a，b 所成的角为，则 cos ab|a|b|，进而可求两异面直线所成的角(2)求长度(距离)：运用公式|a|2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题。(3)解决垂直问题；利用 abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题基础诊断考点突破课堂总结【训练3】如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.(1)求AC
15、1 的长(2)求BD1 与AC夹角的余弦值基础诊断考点突破课堂总结解 记ABa，AD b，AA1c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca12.(1)|AC1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112121212 6，|AC1|6.基础诊断考点突破课堂总结(2)BD1 bca，ACab，|BD1|2，|AC|3，BD1 AC(bca)(ab)b2a2acbc1.cosBD1，AC BD1 AC|BD1|AC|66.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础2利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题3利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题其中合理选取基底是优化运算的关键基础诊断考点突破课堂总结易错防范1在利用MN xAByAC证明 MN面 ABC 时，必须说明 M点或 N 点不在面 ABC 内(因为式只表示MN 与AB，AC共面)2求异面直线所成角，一般可转化为两向量夹角，但要注意两种角范围不同，注意两者关系，合理转化.
