1、一曲线的参数方程1参数方程的概念2圆的参数方程学习目标1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题.知识链接曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数有什么实际意义？提示联系x，y的参数t(，)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.预习导引1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条
2、曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程.2.圆的参数方程(1)如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0开始出发，按逆时针方向在圆O上作均速圆周运动，设M(x，y)，点M转过的角度是，则(为参数)，这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程.(2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程普通方程参数方程(xa)2(yb)2r2(为参数)要点一参数方程的概念例1已知曲线C的参数方程是(t为参数，aR)，点M(3，4)在曲线C上.(1)求常数a的值；(2)判断点P
3、(1，0)、Q(3，1)是否在曲线C上？解(1)将M(3，4)的坐标代入曲线C的参数方程得消去参数t，得a1.(2)由(1)可得，曲线C的参数方程是把点P的坐标(1，0)代入方程组，解得t0，因此P在曲线C上，把点Q的坐标(3，1)代入方程组，得到这个方程组无解，因此点Q不在曲线C上.规律方法点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上.(1)对于曲线C的普通方程f(x，y)0，若点M(x1，y1)在曲线上，则点M(x1，y1)的坐标是方程f(x，y)0的解，即有f(x1，y1)0，若点N(x2，y2)不在曲线上，则点N(x2，y2
4、)的坐标不是方程f(x，y)0的解，即有f(x2，y2)0.(2)对于曲线C的参数方程(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则对应的参数t有解，否则参数t不存在.跟踪演练1已知曲线C的参数方程为(为参数，02).判断点A(2，0)，B是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值.解把点A(2，0)的坐标代入，得cos 1，且sin 0，由于02，解之得0，因此点A(2，0)在曲线C上，对应参数0，同理，把B代入参数方程，得又02，所以点B在曲线C上，对应.要点二圆的参数方程及其应用例2设曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的方程为x3y20，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为()A
5、.1 B.2 C.3 D.4解析由得(x2)2(y1)29.曲线C表示以(2，1)为圆心，以3为半径的圆，则圆心C(2，1)到直线l的距离d3，所以直线与圆相交.所以过圆心(2，1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3d，故满足题意的点有2个.答案B规律方法1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断，特别要注意变量的取值范围.跟踪演练2已知实数x，y满足(x1)2(y1)29，求x2y2的最大值和最小值.解由已知，可把点(x，y)视为圆(x1)2(y1)29上的点，设(为参数).则x2y2(1
6、3cos )2(13sin )2116(sin cos )116sin.1sin1，116x2y2116.x2y2的最大值为116，最小值为116.要点三参数方程的实际应用例3某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H2 000 m，水平飞行速度为v1100 m/s，如图所示.(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为v220 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g10 m/s2)解(1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0 s，在时刻t s时其坐标为M(x，y)，由于炸弹作平抛运动，依题意，
7、得即令y2 0005t20，得t20(s)，所以飞机投弹t s炸弹的水平位移为100t m，离地面的高度为(2 0005t2)m，其中，0t20.(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车参考系.水平方向S相对v相对t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s(v1v2)t(10020)201 600(m).规律方法本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹做平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间.跟踪演练3如果本例条件不变，求：(1)炸弹投出机舱10 s后这一时刻的水平
8、位移和高度各是多少m?(2)如果飞机迎击一辆速度为v220 m/s相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？解(1)将t10代入得所以炸弹投出机舱10 s后这一时刻的水平位移和高度分别是1 000 m和1 500 m.(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系.水平方向s相对v相对t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s(v1v2)t(10020)202 400(m).1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么
9、明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.1.下列方程：(1)(m为参数)；(
10、2)(m，n为参数)；(3)(4)xy0中，参数方程的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析由参数方程的概念知是参数方程，故选A.答案A2.当参数变化时，由点P(2cos ，3sin )所确定的曲线过点()A.(2，3) B.(1，5) C. D.(2，0)解析当2cos 2，即cos 1，3sin 0.过点(2，0).答案D3.参数方程(t为参数)表示的曲线是()A.两条直线 B.一条射线C.两条射线 D.双曲线解析当t0时是一条射线；当t0时，也是一条射线，故选C.答案C4.已知(t为参数)，若y1，则x_.解析当y1时，t21，t1，当t1时，x2；当t1时，x0.x的值为2或0.
11、答案2或05.已知直线yx与曲线(为参数)相交于两点A和B，求弦长|AB|.解由得(x1)2(y2)24，其圆心为(1，2)，半径r2，则圆心(1，2)到直线yx的距离d.|AB|22.一、基础达标1.已知O为原点，参数方程(为参数)上的任意一点为A，则|OA|()A.1 B.2 C.3 D.4解析|OA|1，故选A.答案A2.已知曲线C的参数方程是(为参数)，曲线C不经过第二象限，则实数a的取值范围是()A.a2 B.a3 C.a1 D.a0解析曲线C的参数方程是(为参数)，化为普通方程为(xa)2y24，表示圆心为(a，0)，半径等于2的圆.曲线C不经过第二象限，则实数a满足a2，故选A.
12、答案A3.圆心在点(1，2)，半径为5的圆的参数方程为()A.(02)B.(02)C.(0)D.(02)解析圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(0，2).故圆心在点(1，2)，半径为5的圆的参数方程为(02).答案D4.将参数方程(为参数)化为普通方程为()A.yx2 B.yx2C.yx2(2x3) D.yx2(0y1)解析将参数方程中的消去，得yx2.又x2，3.答案C5.若点(3，3)在参数方程(为参数)的曲线上，则_.解析将点(3，3)的坐标代入参数方程(为参数)得解得2k，kZ.答案2k，kZ6.已知圆C的参数方程为(为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直
13、线l的极坐标方程为sin 1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为_.解析由圆C的参数方程为可求得其在直角坐标系下的方程为x2(y1)21，由直线l的极坐标方程sin 1可求得其在直角坐标系下的方程为y1，由可解得所以直线l与圆C的交点的直角坐标为(1，1)，(1，1).答案(1，1)，(1，1)7.已知曲线C：(为参数)，如果曲线C与直线xya0有公共点，求实数a的取值范围.解x2(y1)21.圆与直线有公共点，则d1，解得1a1.二、能力提升8.若P(2，1)为圆O：(02)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程是()A.xy30 B.x2y0C.xy10 D.2xy50解析圆心O(1，0)，kP
14、O1.kl1.直线l方程为xy30.答案A9.如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2y2x0的参数方程为_.解析将x2y2x0配方，得y2，圆的直径为1.设P(x，y)，则x|OP|cos 1cos cos cos2，y|OP|sin 1cos sin sin cos ，圆x2y2x0的参数方程为(为参数).答案(为参数)10.曲线(t为参数)与圆x2y24的交点坐标为_.解析sin t1，1，y0，2.方程表示的曲线是线段x1(0y2).令x1，由x2y24，得y23，0y2，y.答案(1，)11.设点M(x，y)在圆x2y21上移动，求点P(xy，xy)的轨迹.解设点M(cos ，s
15、in )(02)，点P(x，y).则22，得x22y1.即x22.所求点P的轨迹为抛物线x22的一部分.12.已知点M(x，y)是圆x2y22x0上的动点，若4x3ya0恒成立，求实数a的取值范围.解由x2y22x0，得(x1)2y21，又点M在圆上，x1cos ，且ysin (为参数)，因此4x3y4(1cos )3sin 45sin()451.(由tan 确定)4x3y的最大值为1.若4x3ya0恒成立，则a(4x3y)max，故实数a的取值范围是1，).三、探究与创新13.已知圆系方程为x2y22axcos 2aysin 0(a0，且为已知常数，为参数)(1)求圆心的轨迹方程；(2)证明
16、圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.(1)解由已知圆的标准方程为：(xacos )2(yasin 2)a2(a0).设圆心坐标为(x，y)，则(为参数)，消参数得圆心的轨迹方程为x2y2a2.(2)证明由方程得公共弦的方程：2axcos 2aysin a2，即xcos y sin 0，圆x2y2a2的圆心到公共弦的距离d为定值.弦长l2a(定值).3参数方程和普通方程的互化学习目标1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题.知识链接普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否唯一？提示不一定唯一.普通方程化为参数方程
17、，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同.预习导引参数方程与普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.要点一把参数方程化为普通方程例1在方程(a，b为正常数)中，(1)当t为参数，为常数时，方程表示何种曲线？(2)当t为常数，为参数时，方程表示何种曲线？解方程(a，b是正常数)，(1)
18、sin cos 得xsin ycos asin bcos 0.cos 、sin 不同时为零，方程表示一条直线.(2)(i)当t为非零常数时，原方程组为22得1，即(xa)2(yb)2t2，它表示一个圆.(ii)当t0时，表示点(a，b).规律方法1.消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形.另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2cos21，(exex)2(exex)24，1等.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参
19、数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线.跟踪演练1参数方程(为参数)化成普通方程为_.解析cos2sin21，x2(y1)21.答案x2(y1)21要点二把普通方程化成参数方程例2求方程4x2y216的参数方程：(1)设y4sin ，为参数；(2)若令yt(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？解(1)把y4sin 代入方程，得到4x216sin216，于是4x21616sin216cos2，x2cos .4x2y216的参数方程是和(为参数)(2)将yt代入椭圆方程4x2y216
20、，得4x2t216，则x2.x.因此，椭圆4x2y216的参数方程是，和(t为参数).同理将x2t代入椭圆4x2y216，得椭圆的参数方程为和(t为参数).规律方法1.将圆的普通方程化为参数方程(1)圆x2y2r2的参数方程为(为参数)；(2)圆(xa)2(yb)2r2的参数方程为(为参数).2.普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如xf(t)，再计算yg(t)，并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过xf(t)，yg(t)，调整t的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x，y的取值范围保持一致.跟踪演练2设ytx(t为参数)，则圆x2y24y0的参数方程是_.解
21、析把ytx代入x2y24y0得x，y，参数方程为(t为参数).答案(t为参数)要点三参数方程的应用例3已知x、y满足x2(y1)21，求：(1)3x4y的最大值和最小值；(2)(x3)2(y3)2的最大值和最小值.解由圆的普通方程x2(y1)21得圆的参数方程为(0，2).(1)3x4y3cos 4sin 445sin()，其中tan ，且的终边过点(4，3).55sin()5，145sin()9，3x4y的最大值为9，最小值为1.(2)(x3)2(y3)2(cos 3)2(sin 4)2268sin 6cos 2610sin().其中tan .且的终边过点(4，3).1010sin()10，
22、162610sin()36，所以(x3)2(y3)2的最大值为36，最小值为16.规律方法1.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数.2.解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题.3.注意运用三角恒等式求最值：asin bcos sin().其中tan (a0)，且的终边过点(a，b).跟踪演练3如图，已知点P是圆x2y216上的一个动点，定点A(12，0)，当点P在圆上运动时，利用参数方程求线段PA的中点M的轨迹
23、.解因为圆x2y216的参数方程为(为参数)，所以可设点P(4cos ，4sin )，设点M(x，y)，由线段中点坐标公式得(为参数)，即点M的轨迹的参数方程为(为参数)，所以点M的轨迹是以点(6，0)为圆心、2为半径的圆.1.参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.2.同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的
24、过程，降低计算量，提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形.3.参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.1.与普通方程x2y10等价的参数方程为(t为参数)()A. B.C. D.解析A化为普通方程为x2y10，x1，1，y0，1.B化为普通方程为x2y10，x1，1，y0，1.C化为普通方程为x2y10，x0，)，y(，1.D化为普通方程为x2y10，xR，yR.答案D2.将参数方程(
25、t为参数)化为普通方程为_.解析由xt得x2t22，又yt2，x2y2.t22，y2.答案x2y2(y2)3.参数方程(为参数)表示的曲线的普通方程是_.解析y2(sin cos )2sin22sin cos cos212sin cos 1x，又xsin 21，1，曲线的普通方程是y2x1(1x1).答案y2x1(1x1)4.已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数，aR)，点M(5，4)在该曲线上.(1)求常数a；(2)求曲线C的普通方程.解(1)由题意，可知故所以a1.(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为由第一个方程，得t，代入第二个方程，得y，即(x1)24y为所求.一、基础达标1.
26、曲线(为参数)的方程等价于()A.x B.yC.y D.x2y21解析由x|sin |得0x1；由ycos 得1y1.故选A.答案A2.已知直线l：(t为参数)与圆C：(为参数)，则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别是()A.，(1，0) B.，(1，0)C.，(1，0) D.，(1，0)解析直线消去参数得直线方程为yx，所以斜率k1即倾斜角为.圆的标准方程为(x1)2y24，圆心坐标为(1，0).答案C3.参数方程(t为参数)化为普通方程为()A.x2y21B.x2y21去掉(0，1)点C.x2y21去掉(1，0)点D.x2y21去掉(1，0)点解析x2y21，又x1时，1t2(1t2)不
27、成立，故去掉点(1，0).答案D4.若x，y满足x2y21，则xy的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.4解析由于圆x2y21的参数方程为(为参数)，则xysin cos 2sin，故xy的最大值为2.故选B.答案B5.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|_.解析由cos 4，知x4.又x3y2(x0).由得或|AB|16.答案166.在极坐标系中，圆C1的方程为4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程(为参数)，若圆C1与C2相切，则实数a_
28、.解析圆C1的直角坐标方程为x2y24x4y，其标准方程为(x2)2(y2)28，圆心为(2，2)，半径长为2，圆C2的圆心坐标为(1，1)，半径长为|a|，由于圆C1与圆C2外切，则|C1C2|2|a|3或|C1C2|a|23a或a5.答案或57.已知曲线C的参数方程为(t为参数，t0).求曲线C的普通方程.解由x两边平方得x2t2，又y3，则t(y6).代入x2t2，得x22.3x2y60(y6).故曲线C的普通方程为3x2y60(y6).二、能力提升8.已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为：(为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：cos0，则圆C截直线所得弦长为(
29、)A. B.2 C.3 D.4解析圆C的参数方程为的圆心为(，1)，半径为3，直线普通方程为xy0，即xy0，圆心C(，1)到直线xy0的距离为d1，所以圆C截直线所得弦长|AB|224.答案D9.过原点作倾斜角为的直线与圆相切，则_.解析直线为yxtan ，圆为(x4)2y24，直线与圆相切时，易知tan ，或.答案或10.在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_.解析曲线C1的普通方程为2xy3，曲线C2的普通方程为1，直线2xy3与x轴的交点坐标为，故曲线1也经过这个点，代入解得a(舍去).答案11.在平面直角坐标系中，以坐
30、标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2，0)，圆C的参数方程为(为参数).(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系.解(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，.又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的平面直角坐标方程为yx.(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，所以直线l的平面直角坐标方程为xy20.又圆C的圆心坐标为(2，)，半径为r2，圆心到直线l的距离dr，故直线l与圆C相交.12.已知曲线C1：(为参数)，曲线C2：(t为参数).(1
31、)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1，C2.写出C1，C2的参数方程.C1与C2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.解(1)C1是圆，C2是直线.C1的普通方程为x2y21，圆心C1(0，0)，半径r1.C2的普通方程为xy0.因为圆心C1到直线xy0的距离为1，所以C2与C1只有一个公共点.(2)压缩后的参数方程分别为C1：(为参数)，C2：(t为参数)，化为普通方程为C1：x24y21，C2：yx，联立消元得2x22x10，其判别式(2)24210，所以压缩后的直线C2与椭
32、圆C1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同.三、探究与创新13.已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0，02).解(1)将消去参数t，化为普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160，将代入x2y28x10y160得，28cos 10sin 160，C1的极坐标方程为28cos 10sin 160；(2)C2的普通方程为x2y22y0，由解得或C1与C2的交点的极坐标分别为，.二圆锥曲线的参数方程学习目标1
33、.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.知识链接1.椭圆的参数方程中，参数是OM的旋转角吗？提示椭圆的参数方程(为参数)中的参数不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角.2.双曲线的参数方程中，参数的三角函数sec 的意义是什么？提示sec ，其中0，2)且，.3.类比y22px(p0)，你能得到x22py(p0)的参数方程吗？提示(p0，t为参数，tR.)预习导引1.椭圆的参数方程普通方程参数方程1(ab0)(为参数)1(ab0)(为参数)2.双曲
34、线的参数方程普通方程参数方程1(ab0)(为参数)3.抛物线的参数方程(1)抛物线y22px的参数方程是(tR，t为参数).(2)参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.要点一椭圆参数方程的应用例1已知A、B分别是椭圆1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求ABC重心G的轨迹的普通方程.解由题意知A(6，0)，B(0，3).由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos ，3sin )，点G的坐标为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得(为参数)，即故重心G的轨迹的参数方程为(为参数).规律方法本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程
35、显得很简单，运算更简便.跟踪演练1已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：1.(1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x2y70距离的最小值.解(1)由得曲线C1：(x4)2(y3)21，C1表示圆心是(4，3)，半径是1的圆.曲线C2：1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.其参数方程为(为参数)(2)依题设，当t时，P(4，4)；且Q(8cos ，3sin )，故M.又C3为直线x2y70，M到C3的距离d|4cos 3sin 13|5cos()13|，从而
36、当cos ，sin 时，cos()1，d取得最小值.要点二双曲线参数方程的应用例2求证：双曲线1(a0，b0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.证明由双曲线1，得两条渐近线的方程是：bxay0，bxay0，设双曲线上任一点的坐标为(asec ，btan )，它到两渐近线的距离分别是d1和d2，则d1d2(定值).规律方法在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2tan21的应用.跟踪演练2如图，设P为等轴双曲线x2y21上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：|PF1|PF2|OP|
37、2.证明设P(sec ，tan )，F1(，0)，F2(，0)，|PF1|，|PF2|，|PF1|PF2|2sec21.|OP|2sec2tan22sec21，|PF1|PF2|OP|2.要点三抛物线参数方程的应用例3设抛物线y22px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQl于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程.解设P点的坐标为(2pt2，2pt)(t为参数)，当t0时，直线OP的方程为yx，QF的方程为y2t，它们的交点M(x，y)由方程组确定，两式相乘，消去t，得y22x，点M的轨迹方程为2x2pxy20(x0).当t0时，M(0，0)满足题意，且适合方程2x2pxy20
38、.故所求的轨迹方程为2x2pxy20.规律方法1.抛物线y22px(p0)的参数方程为(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.跟踪演练3已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若|EF|MF|，点M的横坐标是3，则p_.解析根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y22px，所以y6p，所以E，F，所以3，所以p24p120，解得p
39、2(负值舍去).答案21.圆的参数方程中的参数是半径OM的旋转角，椭圆参数方程中的参数是椭圆上点M的离心角.2.椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数).3.双曲线的参数方程中，参数的三角函数cot 、sec 、csc 的意义分别为cot ，sec ，csc .4.抛物线y22px的参数方程(t为参数)，由于，因此t的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.5.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.1.参数方程(t为参数)的普通方程是()A.抛物线 B.一条直线C.椭圆 D.双曲线解析由参数方程平
40、方相减可得4x2y216，即1，故答案为D.答案D2.椭圆(为参数)的焦点坐标为()A.(0，0)，(0，8) B.(0，0)，(8，0)C.(0，0)，(0，8) D.(0，0)，(8，0)解析利用平方关系化为普通方程：1.焦点(0，0)，(8，0).答案D3.参数方程(为参数)表示的普通方程是_.解析因x21sin ，y22sin ，所以y2x21，又因xsincossin，所以答案为y2x21(|x|且y1).答案y2x21(|x|且y1)4.点P(1，0)到曲线(参数tR)上的点的最短距离为()A.0 B.1 C. D.2解析d2(t21)24t2(t21)2.tR，d1，dmin1.
41、答案B5.已知点P是椭圆y21上任意一点，求点P到直线l：x2y0的距离的最大值.解因为P为椭圆y21上任意一点，故可设P(2cos ，sin )，其中0，2).又直线l：x2y0.因此点P到直线l的距离d.又0，2)，dmax，即点P到直线e：x2y0的距离的最大值为.一、基础达标1.参数方程(为参数)化为普通方程为()A.x21 B.x21C.y21 D.y21解析易知cos x，sin ，x21，故选A.答案A2.方程(为参数，ab0)表示的曲线是()A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.双曲线的一部分解析由xcos a，cos ，代入ybcos ，得xyab，又由ybcos 知，y|b|，|
42、b|，曲线应为双曲线的一部分.答案D3.若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于()A.2 B.3 C.4 D.5解析抛物线为y24x，准线为x1，|PF|为P(3，m)到准线x1的距离，即为4.答案C4.当取一切实数时，连接A(4sin ，6cos )和B(4cos ，6sin )两点的线段的中点的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.直线 D.线段解析设中点M(x，y)，由中点坐标公式，得x2sin 2cos ，y3cos 3sin ，即sin cos ，sin cos ，两式平方相加，得2，是椭圆.答案B5.实数x，y满足3x24y212，则2xy的最大值是_.解析
43、因为实数x，y满足3x24y212，所以设x2cos ，ysin ，则2xy4cos 3sin 5sin()，其中sin ，cos .当sin()1时，2xy有最大值为5.答案56.抛物线yx2的顶点轨迹的普通方程为_.解析抛物线方程可化为y，其顶点为，记M(x，y)为所求轨迹上任意一点，则消去t得yx2(x0).答案yx2(x0)7.如图所示，连接原点O和抛物线yx2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？解抛物线标准方程为x22y，其参数方程为得M(2t，2t2).设P(x，y)，则M是OP中点.(t为参数)，消去t得yx2，是以y轴为对称轴，焦点
44、为(0，1)的抛物线.二、能力提升8.若曲线(为参数)与直线xm相交于不同两点，则m的取值范围是()A.R B.(0，)C.(0，1) D.0，1)解析将曲线化为普通方程得(y1)2(x1)(0x1).它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0m1.答案D9.圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是_.解析将参数方程化为普通方程为y24x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p4p2，则焦点坐标为(1，0).答案(1，0)10.设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_.解析化为普通方程为yx2，由于cos x，s
45、in y，所以化为极坐标方程为sin 2cos2，即cos2sin 0.答案cos2sin 011.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解(1)C1的普通方程为y21.C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin ).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值.d().当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小
46、值为，此时P的直角坐标为.三、探究与创新12.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.解设椭圆的参数方程是，其中，ab0，02.由e21可得即a2b.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2x2a2cos2a2(a2b2)sin23bsin 4b23b2sin23bsin 3b24b23，如果1即b，即当sin 1时，d2有最大值，由题设得()2，由此得b，与b矛盾.因此必有1成立，于是当sin 时，d2有最大值，由题设得()24b23，由此可得b1，a2.所求椭圆的参数方程是由sin
47、，cos 可得，椭圆上的点，点到点P的距离都是.三直线的参数方程学习目标1.掌握直线的参数方程.2.能够利用直线的参数方程解决有关问题.知识链接1.若直线l的倾斜角0，则直线l的参数方程是什么？提示参数方程为(t为参数).2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义？提示过定点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的长度，即|t|.当t0时，的方向向上；当t0时，的方向向下；当t0时，点M与点M0重合.预习导引直线的参数方程经过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)，其中参数t的
48、几何意义是：|t|是直线l上任一点M(x，y)到点M0(x0，y0)的距离，即|t|.要点一直线参数方程的标准形式例1已知直线l：(t为参数).(1)求直线l的倾斜角；(2)若点M(3，0)在直线l上，求t并说明t的几何意义.解(1)由于直线l：(t为参数)表示过点M0(，2)且斜率为tan的直线，故直线l的倾斜角.(2)由(1)知，直线l的单位方向向量e.M0(，2)，M(3，0)，(2，2)44e，点M对应的参数t4，几何意义为|4，且与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方).规律方法1.一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角(0)唯一确定，直线上的动点M(x，y)的参数方程为
49、(t为参数)，这是直线参数方程的标准形式.2.直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程是(a、b为常数，t为参数).跟踪演练1直线l经过点M0(1，5)，倾斜角为，且交直线xy20于M点，则|MM0|_.解析由题意可得直线l的参数方程为(t为参数)，代入直线方程xy20，得1t20，解得t6(1).根据t的几何意义可知|MM0|6(1).答案6(1)要点二利用直线的参数方程求曲线的弦长例2已知过点M(2，1)的直线l：(t为参数)，与圆x2y24交于A，B两点，求|AB|及|AM|BM|.解l的参数方程为(t为参数).令t，则有(t是参数
50、).其中t是点M(2，1)到直线l上的一点P(x，y)的有向线段的数量，代入圆的方程x2y24，化简得t23t10.0，可设t1，t2是方程的两根，由根与系数关系得t1t23，t1t21.由参数t的几何意义得|MA|t1|，|MB|t2|，|MA|MB|t1t2|1，|AB|t1t2|.规律方法1.在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t1t2|来求.本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t的几何意义.2.根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l|t1t2|；(2)
51、定点M0是弦M1M2的中点t1t20；(3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM(由此可求|M1M2|及中点坐标).跟踪演练2在极坐标系中，已知圆心C，半径r1.(1)求圆的直角坐标方程；(2)若直线(t为参数)与圆交于A，B两点，求弦AB的长.解(1)由已知得圆心C，半径为1，圆的方程为1，即x2y23x3y80，(2)由(t为参数)得直线的直角坐标系方程xy10，圆心到直线的距离d，所以d21，解得|AB|.要点三直线参数方程的综合应用例3已知直线l过定点P(3，2)且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求|PA|PB|的值为最小时的直线l的方程.解设直线的倾斜角为，则它的方程
52、为(t为参数).由A，B是坐标轴上的点知yA0，xB0，02tsin ，即|PA|t|，03tcos ，即|PB|t|，故|PA|PB|.90180，当2270，即135时，|PA|PB|有最小值.直线方程为(t为参数)，化为普通方程为xy50.规律方法利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便.跟踪演练3在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为2sin .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.
53、若点P的坐标为(3，)，求|PA|PB|.解(1)由2sin ，得22 sin .x2y22y0，即x2(y)25.(2)法一直线l的普通方程为yx3，与圆C：x2(y)25联立，消去y，得x23x20，解之得或不妨设A(1，2)，B(2，1).又点P的坐标为(3，)，故|PA|PB|3.法二将l的参数方程代入x2(y)25，得5，即t23t40，(*)由于(3)24420.故可设t1，t2是(*)式的两个实根.t1t23，且t1t24.t10，t20.又直线l过点P(3，)，由t的几何意义，得|PA|PB|t1|t2|3.1.经过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)
54、.其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的数量，可为正、为负，也可为零.2.在直线参数方程中，如果直线上的点M1、M2所对应的参数值分别为t1和t2，则线段M1M2的中点所对应的参数值为t中(t1t2).1.直线(t为参数)的倾斜角等于()A.40 B.50C.45 D.135解析根据tan 1，因此倾斜角为135.答案D2.若(为参数)与(t为参数)表示同一条直线，则与t的关系是()A.5t B.5tC.t5 D.t5解析由xx0，得3tcos ，由yy0，得4tsin ，消去的三角函数，得252t2，得t5，借助于直线的斜率，可排除t5，所以t5.答案C3
55、.已知直线l1：(t为参数)与直线l2：2x4y5相交于点B，且点A(1，2)，则|AB|_.解析将代入2x4y5，得t，则B.又A(1，2)，所以|AB|.答案4.求直线l1：(t为参数)与直线l2：xy20的交点到定点(4，3)的距离.解l1的参数方程可化为(t为参数).把l1的参数方程的标准形式代入xy20中，得4t3t20.解得t，|t|.由|t|的几何意义为交点到点(4，3)的距离，所求的距离为|t|.一、基础达标1.直线(为参数，0a)必过点()A.(1，2) B.(1，2)C.(2，1) D.(2，1)解析直线表示过点(1，2)的直线.答案A2.下列可以作为直线2xy10的参数方
56、程的是()A.(t为参数) B.(t为参数)C.(t为参数) D.(t为参数)解析题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可排除选项A、D.而选项B中直线的普通方程为2xy30，故选C.答案C3.极坐标方程cos 和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是()A.直线、直线 B.直线、圆C.圆、圆 D.圆、直线解析cos ，2cos ，即x2y2x，即y2，cos 所表示的图形是圆.由(t为参数)消参得：xy1，表示直线.答案D4.直线(t为参数)和圆x2y216交于A、B两点，则AB的中点坐标为()A.(3，3) B.(，3)C.(，3) D.(3，)解析将x1
57、，y3t代入圆方程，得16，t28t120，则t12，t26，因此AB的中点M对应参数t4，x143，y34，故AB中点M的坐标为(3，).答案D5.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则常数a的值为_.解析直线l：消去参数t后得yxa.椭圆C：消去参数后得1.又椭圆C的右顶点为(3，0)，代入yxa得a3.答案36.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(为参数，0)和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为_.解析曲线C1和C2的直角坐标方程分别为x2y25(0x，0y)，xy1联立解得C1与C2的交点坐标为(2，1).答案(2
58、，1)7.化直线l的参数方程，(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.解由消去参数t，得直线l的普通方程为xy310.故斜率ktan ，由于0b0)，由sinm得( sin cos )m，即直线方程为xym0.由b，得2b2，即x2y2b2，所以圆的标准方程为x2y2b2.因为直线xym0过椭圆的焦点，代入得mc.直线xym0与圆x2y2b2相切，则b，即|m|b.所以cb，解得ab，所以离心率e.答案题型四直线参数方程的应用直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题.在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免
59、通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义.例4直线l过点P0(4，0)，它的参数方程为(t为参数)与圆x2y27相交于A，B两点.(1)求弦长|AB|；(2)过P0作圆的切线，求切线长.解将直线l的参数方程代入圆的方程，得7，整理得t24t90.(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系得t1t24，t1t29.故|AB|t2t1|2.(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，则|P0T|2|P0A|P0B|t1t2|9，切线长|P0T|3.跟踪演练4在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为
60、(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，求线段AB的长.解将直线l的参数方程代入抛物线方程y24x，得4.解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.题型五极坐标、参数方程与普通方程的综合应用极坐标、参数方程与普通方程的综合试题是热点与重点，掌握好极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化是解题的关键点.例5在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为cosa，且点A在直线l上.(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系.解(1)由点A在直线cos a
61、上，可得a.所以直线l的方程可化为cos sin 2，从而直线l的直角坐标方程为xy20.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆C的圆心为(1，0)，半径r1，因为圆心C到直线l的距离d1，所以直线l与圆C相交.跟踪演练5在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值.解(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C
62、2交点的极坐标为，.(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3).故直线PQ的直角坐标方程为xy20.由参数方程可得yx1.所以解得1.参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式.某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力.2.参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到
63、方便解题的目的，同时注意参数的范围.讲末检测一、选择题1.下列点不在直线(t为参数)上的是()A.(1，2) B.(2，1)C.(3，2) D.(3，2)解析直线l的普通方程为xy10，因此点(3，2)的坐标不适合方程xy10.答案D2.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，则直线l被圆C截得的弦长为()A. B.2 C. D.2解析由题意得，直线l的普通方程为xy40，圆C的直角坐标方程为(x2)2y24，则圆心到直线l的距离d，直线l被圆C截得的弦长为22.答案D3.极
64、坐标方程(1)()0(0)表示的图形是()A.两个圆 B.两条直线C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线解析(1)()0(0)，1或(0).1表示圆心在原点，半径为1的圆，(0)表示x轴的负半轴，是一条射线，故选C.答案C4.在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线的方程是()A.sin 1 B.sin C.cos 1 D.cos 解析因点P，得xcos 2cos ，ysin 2sin 1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y1，再化为极坐标为sin 1，选A.答案A5.已知O为原点，当时，参数方程(为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为()A. B.C. D.解析
65、当时，x，y，kOAtan ，且0，因些.答案C6.若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的倾斜角的余弦值为()A. B. C. D.解析由题意知，直线l的普通方程为4x3y100.设l的倾斜角为，则tan .由1tan2知cos2.0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆.将xcos ，ysin 代入C1
66、的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)，a1.a1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.所以a1.18.如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点.(1)求证：为定值；(2)求AB的中点M的轨迹方程.(1)证明设直线AB的方程为(t为参数，0)，代入y22px整理，得t2sin22ptcos p20.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则由根与系数的关系，得t1t2，t1t2.(定值).(2)解设AB的中点M(x，y)，则M对应的参数为t，(为参数)，消去，得y2p为所求的轨迹方程.
