1、第1课时数学归纳法学习目标1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n1)(n2)(n50)0.思考1验证当n1，n2，n50时等式成立吗？答案成立思考2能否通过以上等式归纳出当n51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立梳理(1)数学归纳法的定义一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果当n取第一个值n0(例如n01,2等)时结论正确；假设当nk(kN*，且kn0)时结论正确，证明当nk1时结论也正确那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立(2)数学归纳法的框图表
2、示类型一从nk到nk1左边增加的项例1用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，“从k到k1”左端增乘的代数式为_答案2(2k1)解析令f(n)(n1)(n2)(nn)，则f(k)(k1)(k2)(kk)，f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，所以2(2k1)反思与感悟在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k1)中的最后一项，除此之外，多了哪些项都要分析清楚跟踪训练1用数学归纳法证明不等式(n2，nN*)的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_答案解析当nk1时左边的代数式是，增加了两项与，但是少了一项，故
3、不等式的左边增加的式子是.类型二用数学归纳法证明恒等式例2用数学归纳法证明当nN*时，1.证明当n1时，左边1，右边.左边右边，等式成立假设当nk(kN*，k1)时，等式成立，即1，当nk1时，1().当nk1时，等式成立由可知，对一切nN*等式成立反思与感悟数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项(3)利用假设是核心：在第二步证明nk1成立时，一定要
4、利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1时命题成立”，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法跟踪训练2用数学归纳法证明：135(2n3)(2n1)(2n3)5312n22n1.证明当n1时，左边1，右边2122111，等式成立假设当nk(kN*)时，等式成立，即135(2k3)(2k1)(2k3)5312k22k1，则当nk1时，左边135(2k3)(2k1)(2k1)(2k1)(2k3)5312k22k1(2k1)(2k1)2k22k12(k1)22(k1)1.即当nk1时，等式成立由知，对任意nN*，等式都成立1若f(n)122232(2n)
5、2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_答案f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2解析f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2，f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2，即f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.2用数学归纳法证明“1aa2a2n1(a1)”在验证n1时，左端计算所得项为_答案1aa2a3解析将n1代入a2n1得a3.3已知数列an满足a11，且4an1anan12an9，那么可以通过求a2，a3，a4的值猜想出an_.答案4请观察以下三个式子：(1)13；(2)1324；(3)132435，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证
6、明该结论解结论：132435n(n2).证明：当n1时，左边3，右边3，所以命题成立假设当nk(k1，kN*)时，命题成立，即132435k(k2)，则当nk1时，1324k(k2)(k1)(k3)(k1)(k3)(2k27k6k18)(2k213k18)，所以当nk1时，命题成立由知，命题成立应用数学归纳法证题时的注意点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.(2)递推是关键：正确分析由nk到nk1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归
7、纳法证明课时作业一、填空题1设nN*，用数学归纳法证明2462nn2n时，第一步应证明：左边_.答案22用数学归纳法证明3nn3(n3，nN*)，n所取的第一个值n0为_答案3解析由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立3已知n为正偶数，用数学归纳法证明12()时，若已假设nk(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证_nk1时等式成立nk2时等式成立n2k2时等式成立n2(k2)时等式成立答案解析因为n为正偶数，nk时等式成立，即n为第k个偶数时命题成立，所以需假设n为下一个偶数，即nk2时等式成立4已知f(n)，则f(2)的表达式为_答案f(2)解析代入表达式可得5在
8、数列an中，a12，an1(nN*)，依次计算a2，a3，a4，归纳得出an的通项表达式为_答案解析由a12，a2，a3，a4，可推测an.6用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程如下：当n1时，左边1，右边2111，等式成立；假设当nk时，等式成立，即12222k12k1；则当nk1时，12222k12k2k11，即当nk1时等式成立由此可知，对任意的nN*，等式都成立上述证明步骤错误的是_(填序号)答案解析中没有用到归纳假设7用数学归纳法证明：1，第一步应验证的等式是_答案18用数学归纳法证明关于n的恒等式，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1时
9、，表达式为_答案1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)29已知f(n)1，nN*，用数学归纳法证明f(2n)时，f(2n1)f(2n)_.答案10证明：假设当nk(kN*)时等式成立，即242kk2k，则当nk1时，242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当nk1时，等式也成立因此对于任何nN*等式都成立以上用数学归纳法证明“242nn2n(nN*)”的过程中的错误为_答案缺少步骤归纳奠基二、解答题11用数学归纳法证明(1)(1)(1)(1)(n2，nN*)证明当n2时，左边1，右边，所以左边右边，所以当n2时等式成立假设当nk(k2，kN*)时等式成立，即(1
10、)(1)(1)(1)，那么当nk1时，(1)(1)(1)(1)11，即当nk1时，等式成立综合知，对任意n2，nN*，等式恒成立12用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n21)2(n222)n(n2n2).证明当n1时，左边1210，右边0，所以等式成立假设当nk(kN*)时等式成立，即(k21)2(k222)k(k2k2).那么当nk1时，有(k1)212(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2(k21)2(k222)k(k2k2)(2k1)(12k)(2k1)k(k1)k(k1)2(2k1)k(k1)(k23k2).所以当nk1时等式成立由知，对任意nN*等式成立三、探
11、究与拓展13证明1(nN*)，假设当nk时成立，当nk1时，左端增加的项数为_答案2k解析当nk1时，1，所以增加的项数为2k11(2k1)2k.14已知数列an的前n项和Sn满足：Sn1，且an0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性(1)解当n1时，由已知得a11，a2a120.a11(an0)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(an0)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)证明由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.由ak1Sk1Sk，将ak代入上式并整理得a2ak120，解得ak1(an0)即当nk1时，通项公式也成立由和可知，对所有nN*，an都成立
