1、学习目标1.进一步熟练掌握导数的应用.2.梳理构建定积分的知识网络.3.进一步理解定积分的概念及性质，应用微积分基本定理求定积分1导数与函数的单调性(1)若f(x)0，则f(x)在定义域上是增加的；若f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；若左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)最值对于函数yf(x)，给定区间a，b，若对任意xa，b，存在x0a，b，使得f(x0)f(x)(f(x0)f(x)，则f(x0)为函数在区间a，b上的最大(小)值3定积分的性质由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：1dxba；kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；f(x)g(x)dxf(x)
2、dxg(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0)，直线l是曲线yf(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10xy6平行(1)求a的值；(2)求f(x)在x3处的切线方程解(1)f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由题意知a2910，a1或1(舍去)故a1.(2)由(1)得a1，f(x)x22x9，则kf(3)6，f(3)10.f(x)在x3处的切线方程为y106(x3)，即6xy280.反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即
3、可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型跟踪训练1直线ykxb与曲线yx3ax1相切于点(2,3)，则b_.答案15解析由题意知232a13，则a3.yx33x1，32239k.又点(2，3)在直线y9xb上，b39215.类型二函数的单调性、极值、最值问题例2设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln21且x0时，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR知，f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln2
4、.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)?极小值?故f(x)的递减区间是(，ln2)，递增区间是(ln2，)，f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln21时，g(x)取最小值为g(ln2)2(1ln2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R上是增加的于是当aln21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0，即exx22ax10，
5、故exx22ax1.反思与感悟本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题及解决问题的能力跟踪训练2已知函数f(x)(4x24axa2)，其中a0)，得x或x2.由f(x)0，得x(0，)或x(2，)，故函数f(x)的递增区间为(0，)和(2，)(2)因为f(x)，a0，由f(x)0，得x或x.当x(0，)时，f(x)是增加的；当x(，)时，f(x)是减少的；当x(，)时，f(x)是增加的，易知f(x)(2xa)20，且f()0.当1，即2a0时，f(x)在1,4上的最小值为f(1)，由f(1)44aa28，得a22，均不符合题意当14，即8
6、a4，即a，所以dxdx.类型四定积分与微积分基本定理例4(1)设f(x)则f(x)dx_.答案解析f(x)dxx3dx(32x)dxx4|(3xx2)|.(2)如图所示，直线ykx将抛物线yxx2与x轴所围图形的面积分为相等的两部分，求k的值解抛物线yxx2与x轴的两交点的横坐标分别为x10，x21，所以抛物线与x轴所围图形的面积S(xx2)dx()|.抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标分别为x10，x21k，所以(xx2kx)dx(x2)|(1k)3，又知S，所以(1k)3，于是k11.反思与感悟由定积分求曲边梯形面积的方法步骤(1)画出函数的图像，明确平面图形的形状(2)通过解方程组，
7、求出曲线交点的坐标(3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和跟踪训练4求由曲线xy1及直线xy，y3所围成的平面图形的面积解作出曲线xy1，直线xy，y3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积由得故A(，3)；由得或(舍去)，故B(1，1)；由得故C(3，3)，故所求面积SS1S2(3)dx(3x)dx(3xlnx)4ln3.1函数f(x)ax3bx2cxd的图像如图，则函数yax2bx的递增区间是()A(，2 B，)C2，3D，)答案D解析不妨取a1，又d0，f(x)x3bx2cx，f(x)3x22bxc.由图可知f(2)0，
8、f(3)0，124bc0，276bc0，b，c18.yx2x6，y2x，当x时，y0.即函数的递增区间为，)故选D.2函数F(x)t(t4)dt在1，5上()A有最大值0，无最小值B有最大值0，最小值C有最小值，无最大值D既无最大值也无最小值答案C解析因为F(x)(t(t4)dt)x24x(x0)，所以F(x)无最大值，当x4时，F(x)取最小值.故选C.3(xsinx)dx_.答案0解析(xsinx)dx(cosx)(cos)cos()0.4体积为16的圆柱，当它的半径为_时，圆柱的表面积最小答案2解析设圆柱底面半径为r，母线长为l.16r2l，即l.则S表面积2r22rl2r22r2r2，
9、由S4r0，得r2.当r2时，圆柱的表面积最小5设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)f(x)的定义域为R.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.则即解得a2，be.(2)由(1)知，f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1，所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(，1)上是减少的；当x(1，)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上是增加的故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，
10、从而g(x)0，x(，)，综上可知，f(x)0，x(，)故f(x)的递增区间为(，)1利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0)明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点2借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体3利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题4不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标课时作业一、选择题1函数yf(x)在xx0处的
11、导数f(x0) 的几何意义是()A在点xx0处的函数值B在点(x0，f(x0)处的切线与x轴所夹锐角的正切值C曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率D点(x0，f(x0)与点(0，0)连线的斜率答案C2如果物体的运动方程为s2t(t1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是()A.米/秒B.米/秒C.米/秒D.米/秒答案A解析ss(t)2t，s(t)2.故物体在2秒末的瞬时速度为s(2)2.3a(x26x,5x)，b，已知f(x)ab，则f(x)等于()Ax26x5Bx26x5C.x33x25xDx23x25答案A解析f(x)ab(x26x,5x)x33x2
12、5x，则f(x)x26x5.4已知函数yxln(1x2)，则y的极值情况是()A有极小值B有极大值C既有极大值又有极小值D无极值答案D解析y10，且仅在有限个点上等号成立，函数f(x)在定义域R上为增函数，故其不存在极值5若函数f(x)x3(2b1)x2b(b1)x在(0，2)内有极小值，则()A0b1B0b2C1b1D1b2答案C解析f(x)x2(2b1)xb(b1)(xb)x(b1)令f(x)0，则xb或xb1，且xb1是极小值点，0b12，1b1.6设函数f(x)xaax(0a1)，则f(x)在0，)内的极大值点x0等于()A0BaC1D1a答案C解析f(x)(xaax)axa1aa(x
13、a11)令a(xa11)0，0a1，x1.当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.x1是0，)内的极大值点二、填空题7计算dx_.答案4ln3解析dx32ln34ln3.8函数f(x)ax44ax2b(a0,1x2)的最大值为3，最小值为5，则a_，b_.答案23解析f(x)4ax38ax4ax(x22)，令f(x)0，解得x10，x2，x3.f(1)a4abb3a，f(2)16a16abb，f()b4a，9在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_答案(2，15)解析y3x210，令y2，解得x2.又点
14、P在第二象限内，x2，此时y15，点P的坐标为(2，15)10已知曲线y与直线xa，y0所围成的封闭区域的面积为a3，则a_.答案解析由题意得a3dxx，即，解得a.11若函数f(x)(a0)在1，)上的最大值为，则实数a的值为_答案1解析f(x)，当x时，f(x)0，f(x)是减少的；当x0，f(x)是增加的若1，即a1，则当x1，)时，f(x)maxf()，解得1，不合题意，1，且当x1，)时，f(x)maxf(1)，解得a1，满足1.三、解答题12求抛物线yx24x3与其在点(0，3)和点(3,0)处的切线所围成的图形的面积解如图，y2x4，在x0处切线的斜率是4，在x3处切线的斜率是2
15、.在点(0，3)处的切线方程是y4x3，在点(3,0)处的切线方程是y2(x3)联立方程组得交点坐标为.所以由它们围成的图形面积为S.13有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系有经验公式：P，Q，今共有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？解设对乙种商品投资x万元，则对甲种商品投资为(3x)万元，总利润为y万元，根据题意得y(0x3)y.令y0，解得x.由实际意义知x即为函数的极大值点，也是最大值点，此时3x.因此，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应
16、分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元四、探究与拓展14已知f(x)为一次函数，且f(x)x2f(t)dt，则f(x)_.答案x1解析f(t)dt为常数，设f(t)dta，f(x)x2a，f(t)dt(t2a)dt(t22at)2aa，a，f(x)x1.15已知函数f(x)ex.(1)当a时，求函数f(x)在x0处的切线方程；(2)函数f(x)是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由解(1)f(x)ex，f(x)ex，f(0)1.当a时，f(0)3.又f(0)1，f(x)在x0处的切线方程为y(1)3(x0)，即y3x1.(2)函数f(x)的定义域为(，a)(a，)当x(a，)时，ex0，0，f(x)ex0.即f(x)在区间(a，)上没有零点当x(，a)时，f(x)ex，令g(x)ex(xa)1，只要讨论g(x)的零点即可g(x)ex(xa1)，g(a1)0，当x(，a1)时，g(x)0，g(x)是减少的；当x(a1，a)时，g(x)0，g(x)是增加的g(x)在区间(，a)上的最小值为g(a1)1ea1.显然，当a1时，g(a1)0，xa1是f(x)的唯一的零点；当a1时，g(a1)1ea10，f(x)没有零点；当a1时，g(a1)1ea10，f(x)有两个零点
