1、第二章 推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法A级基础巩固一、选择题1应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下列哪些作为条件使用()结论的否定即假设;原命题的条件;公理、定理、定义等;原命题的结论ABC D解析:由反证法的定义知,可把作为条件使用,而原命题的结论是不可以作为条件使用的答案:C2(2014山东卷)用反证法证明命题:“设a,b为实数,则方程x2axb0至少有一个实根”时,要做的假设是()A方程x2axb0没有实根B方程x2axb0至多有一个实根C方程x2axb0至多有两个实根D方程x2axb0恰好有两个实根解析:“方程x2axb0至少有一个实根”的反面是“方程x2ax
2、b0没有实根”答案:A3用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线,则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤:则A、B、C、D四点共面,所以AB、CD共面,这与AB、CD是异面直线矛盾;所以假设错误,即直线AC、BD也是异面直线;假设直线AC、BD是共面直线则正确的序号顺序为()A BC D解析:结合反证法的证明步骤可知,其正确步骤为.答案:B4(1)已知p3q32,求证pq2,用反证法证明时,可假设pq2,(2)已知a,bR,|a|b|2;(2)的假设正确答案:D5设实数a、b、c满足abc1,则a,b,c中至少有一个数不小于()A0 B.C. D1解析:假设a,b,c都小于
3、,则abcb),那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有_个解析:假设存在序号和数值均相等的项,即存在n使得anbn,由题意ab,nN*,则恒有anbn,从而an2bn1恒成立,所以不存在n使anbn.答案:0三、解答题9用反证法证明:过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行证明:由两条直线平行的定义可知,过点A至少有一条直线与直线a平行假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行,即bbA,ba.因为ba,由平行公理知bb.这与假设bbA矛盾,所以假设错误,原命题成立10已知a,b,c,dR,且abcd1,acbd1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数证明:假设a,b,c,d
4、都是非负数因为abcd1(ab)(cd)1又因为(ab)(cd)acbdadbcacbd,所以acbd1.这与已知acbd1矛盾,因此假设不成立所以a,b,c,d中至少有一个是负数B级能力提升1设a,b,c大于0,则3个数:a,b,c的值()A都大于2 B至少有一个不大于2C都小于2 D至少有一个不小于2解析:假设a,b,c都小于2则a2,b2,c2abc2;a2b22.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)解析:显然、不能推出,中ab2能推出“a,b中至少有一个大于1”否则a1,且b1,则ab2与ab2矛盾中取a2,b0,推不出答案:3求证:1、2不能为同一等差数列的三项证明:假设1,2是数列an(nN*)中某三项,不妨设为an1,am,ap2,(n,m,p互不相等)由等差数列定义可有即,则1.由于m,n,p是互不相等的正整数,所以必为有理数,而1是无理数,二者不会相等所以假设不成立,结论正确