1、学习目标1.梳理本章知识要点，构建知识网络.2.进一步理解导数的概念及其几何意义.3.能熟练应用公式及运算法则求导1导数的概念(1)函数在点x0处的导数f(x0)，x是自变量x在x0附近的改变量，它可正、可负，但不可为零，f(x0)是一个常数(2)导函数f(x)，f(x)为f(x)的导函数，不是一个常数2导数的几何意义(1)f(x0)是函数yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率，这是导数的几何意义(2)求切线方程常见的类型有两种：一是函数yf(x)“在点xx0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0)是曲线上的点，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)二是函数yf(x)“过某点的
2、切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1), 由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程3导数的运算(1)基本初等函数的导数f(x)c，则f(x)0；f(x)x，则f(x)x1；f(x)ax(a0且a1)，则f(x)axlna；f(x)logax，则f(x)；f(x)sinx，则f(x)cosx；f(x)cosx，则f(x)sin_x；f(x)tanx，则f(x)；f(x)cotx，则f(x).(2)导数四则运算法则
3、f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；.(3)复合函数的求导法则设复合函数u(x)在点x处可导，yf(u)在点u处可导，则复合函数f(x)在点x处可导，且f(x)f(u)(x)，即yxyuux，利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量类型一求函数的导数例1求下列函数的导数(1)ysin3x；(2)y；(3)ylg(2x23x1)；(4)ysin2(2x)解(1)设ysinu，u3x，则yxyuux(sinu)(3x)cosu33cos3x.(2)设y，u12x2，则yxyuux()(12x2)(4x)(12x2)(4x)2x(12x2).
4、(3)设ylgu，u2x23x1，则yxyuux(lgu)(2x23x1)(4x3).(4)设yu2，usinv，v2x.则yxyuuvvx2ucosv22sinvcosv22sin2v2sin(4x)反思与感悟(1)求函数的导数，首先要看函数式的结构形式是否为复合函数，能否化简等(2)若函数是复合函数，要注意函数的外层，内层，准确运用复合函数求导公式求导跟踪训练1求下列函数的导数(1)ycos(2018x8)；(2)y213x；(3)yln(8x6)；(4)y3(2x1)2xcosx.解(1)ysin(2018x8)(2018x8)2018sin(2018x8)(2)y213xln2(13x
5、)3ln2213x.(3)y(8x6).(4)y32(2x1)(2x1)xcosxx(cosx)12(2x1)cosxxsinxcosxxsinx24x12.类型二导数的应用例2已知函数f(x)lnxax1(aR)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程解因为当a1时，f(x)lnxx1，x(0，)，所以f(x)，x(0，)，因此f(2)1，即曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为1.又f(2)ln22，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(ln22)x2，即xyln20.引申探究1若本例函数不变，条件变为“曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为
6、xyln20”，求a的值解因为f(x)a，又曲线在点(2，f(2)处的切线方程为xyln20，所以f(2)1，即1，即a1.2若本例的条件不变，求使f(x)0成立的x的取值范围解因为当a1时，f(x)lnxx1，x(0，)，所以f(x)，x(0，)，因为f(x)0，所以解得x(1，)反思与感悟(1)利用导数运算法则解决与切线相关问题的两个方法此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键(2)常见的两个问题已知点是否在曲线上，求在某点处的切线方程，还是过某点的切线方程，一定要分清
7、楚如果曲线在P(x0，y0)处导数不存在，那么切线不一定不存在，也可能切线垂直于x轴，此种情况可运用数形结合来进行判断跟踪训练2一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x416e2t.(1)求汽水温度x在t1处的导数；(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系：xy32.写出y关于t的函数解析式，并求出y关于t的函数的导数解x32e2t.(1)当t1时，x.(2)y(x32)(16e2t36)，ye2t(2)e2t.1函数f(x)xsint的导数为()Af(x)xcostBf(x)sintCf(x)sintxcostDf(x)cost答案B解析所
8、给函数解析式中，x为自变量，故f(x)sint.2设曲线yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则a等于()A0B1C2D3答案D解析ya，根据已知，得当x0时，y2，a3.3抛物线yx2在x处的切线的倾斜角是()A30B45C60D90答案B解析因y2x，故在x处切线的斜率为1，所以倾斜角为45.4已知过曲线y上一点P的切线的斜率为4，则点P的坐标为()A.B.或C.D.答案B解析y4，x，当x时，y2；当x时，y2.故选B.5设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_答案(1,1)解析据题yex的导数为yex，曲线yex在点(0,1)
9、处的切线的斜率k1e01.设P(x0，y0)(x00)，函数y的导函数y，曲线y(x0)在点P处的切线的斜率k2，则有k1k21，即1()1，解得x01，又x00，x01，又点P在曲线y(x0)上，y01，故点P的坐标为(1,1)本章的内容要点有两个，一个是导数的概念求法，另一个是导数的应用1求函数yf(x)在点x0处的导数的方法一般有两种方法，即导数定义法和导函数的函数值法(1)用定义求函数在点x0处的导数的方法：计算函数值的增量yf(x0x)f(x0)；计算函数值的增量y与自变量的增量x的比值；当x无限趋近于0时，即x0时，则无限趋近于某一常数A，这一常数A就是函数yf(x)在xx0处的导
10、数f(x0)(2)利用导数公式及运算法则求函数的导数f(x)，则函数在xx0点的导数为f(x0)2利用导数求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数yf(x)在x0处的导数f(x0)(2)利用直线方程的点斜式得切线方程为yy0f(x0)(xx0)课时作业一、选择题1已知物体的运动方程是st44t316t2(t(秒)表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是()A0秒、2秒或4秒B0秒、2秒或16秒C2秒、8秒或16秒D0秒、4秒或8秒答案D解析s(t44t316t2)t312t232tt(t4)(t8)，令s0，则有t(t4)(t8)0，解得t0或t4或t8.2函数f(x)x22ax5，若f(a
11、1)0，则a等于()A0B2CD1答案C解析由已知得，f(x)2x2a，则f(a1)2(a1)2a4a2，由4a20解得a，故选C.3若函数f(x)2cosx，则f()等于()AsinBcosC2sinD2sin答案A解析f(x)(2cosx)sinx，当x时，f()sin.4某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为yf(t)，则在时刻t40min的降雨强度为()A20mmB400mmC.mm/minD.mm/min答案D解析f(t)10，f(40).5若函数f(x)的导数为2x21，则f(x)可以等于()A2x31Bx1C.4xDx3x答案D解析选项A
12、中函数的导数为f(x)6x2；选项B中函数的导数为f(x)1；选项C中函数的导数为f(x)4；选项D中函数的导数为f(x)2x21.6设函数f(x)在R上的导函数为f(x)，且2f(x)xf(x)x2，下面的不等式在R上恒成立的是()Af(x)0Bf(x)xDf(x)x2为2f(0)0f(0)02，即f(0)0，排除B、D.当f(x)x2时，f(x)2x，满足2f(x)xf(x)x2在R上恒成立，而f(x)xx2x(x)2，不满足f(x)x在R上恒成立，排除C，故选A.二、填空题7若f(x)，则f(0)_.答案0解析f(x)(exex)，f(0)0.8将半径为R的球加热，若半径从R1到Rm时球
13、的体积膨胀率为，则m的值为_答案2解析Vm313(m31)，m2m17，m2或m3(舍)9设曲线yf(x)xn1(nN)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x2014的值为_答案解析f(x)(n1)xn，f(1)n1，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)令y0，则xn，所以x2 014.10若函数f(x)cos2(3x)，则f()_.答案0解析f(x)2cos(3x)cos(3x)2cos(3x)sin(3x)33sin(6x)，f()3sin()3sin20.11已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是
14、_答案2xy0解析设x0，则x0，f(x)ex1x，因为f(x)为偶函数，所以f(x)ex1x，f(x)ex11，f(1)2，y22(x1)，即2xy0.三、解答题12已知函数f(x)ln(1x)xx2(k0)当k2时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程解当k2时，f(x)ln(1x)xx2，则f(x)12x，由于f(1)ln2，f(1)，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yln2(x1)，即3x2y2ln230.13已知曲线C：yx33x22x，直线l：ykx，且l与C切于点(x0，y0)(x00)，求直线l的方程及切点的坐标解y0x3x2x0，kx3x02.又k
15、3x6x02，x0或x00(舍去)，y0()33()22，k()232.直线l的方程为yx，切点坐标为(，)四、探究与拓展14对正整数n，设曲线yf(x)xn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和Sn的公式是_答案Sn2n12解析yxn(1x)，y(xn)(1x)(1x)xnnxn1(1x)xn.f(2)n2n12n(n2)2n1.在x2处切点的纵坐标为y2n，切线方程为y2n(n2)2n1(x2)令x0得切线与y轴交点的纵坐标为y(n1)2nan，2n，是等比数列，其首项为2，公比为2，前n项和为Sn2n12.15求曲线yln(2x1)上的点到直线l：2xy30的最短距离解作出直线l：2xy30和曲线yln(2x1)的图像可知它们无公共点，所以，平移直线l，使之与曲线相切时，切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离，y(2x1).设切点为P(x0，y0)，所以2，所以x01，所以y0ln(211)0，P(1,0)，所以，曲线yln(2x1)上的点到直线l：2xy30的最短距离为P(1,0)到直线l：2xy30的距离d.
