1、第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试要求1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知 识 梳 理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题pq，pq，綈p的真假判断pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意
2、一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记xM，p(x)x0M，p(x0)否定x0M，綈p(x0)xM，綈p(x)常用结论与微点提醒1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：pq见真即真，pq见假即假，p与綈p真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“pq”的否定是“(綈p)(綈q)”，“pq”的否定是“(綈p)(綈q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)命题“56或52”是假命题.()(2)命题綈(pq)是假命题
3、，则命题p，q中至少有一个是真命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)x0M，p(x0)与xM，綈p(x)的真假性相反.()解析(1)错误.命题pq中，p，q有一真则真.(2)错误.pq是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材选修21P18A1(3)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，pq，pq中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，pq，pq都是真命题.答案B3.(新教材必修第一册P29习题1.5T3(3)改编)
4、命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是_.答案有些表面积相等的三棱锥体积不相等4.(2020成都诊断)已知命题p：x0R，x4x060C.xR，x24x60 D.xR，x24x60解析依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案A是正确的.答案A5.(2020唐山模拟)已知命题p：f(x)x3ax的图象关于原点对称；命题q：g(x)xcos x的图象关于y轴对称.则下列命题为真命题的是()A.綈p B.qC.pq D.p(綈q)解析根据题意，对于f(x)x3ax，有f(x)(x)3a(x)(x3ax)f(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，p为真命题；对于g(x)xcos x，有g(x)(x
5、)cos(x)xcos x，为奇函数，其图象关于原点对称，q为假命题，则綈p为假命题，q为假命题，pq为假命题，p(綈q)为真命题.答案D6.(2019豫南五校联考)若“x，mtan x2”为真命题，则实数m的最大值为_.解析由x，1tan x22.“x，mtan x2”为真命题，则m1.实数m的最大值为1.答案1考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】 (1)设a，b，c是非零向量.已知命题p: 若ab0，bc0，则ac0；命题q：若ab，bc，则ac.则下列命题中真命题是()A.pq B.pqC.(綈p)(綈q) D.p(綈q)(2)(2020济南调研)已知命题p：若a|b|，则a2b
6、2；命题q：m，n是直线，为平面，若m，n，则mn.下列命题为真命题的是()A.pq B.p(綈q)C.(綈p)q D.(綈p)(綈q)解析(1)取ac(1，0)，b(0，1)，显然ab0，bc0，但ac10，p是假命题.又a，b，c是非零向量，由ab知axb(xR)，由bc知byc(yR)，axyc，ac，q是真命题.综上知pq是真命题，pq是假命题.綈p为真命题，綈q为假命题.(綈p)(綈q)，p(綈q)都是假命题.(2)对于命题p，由a|b|两边平方，可得到a2b2，故命题p为真命题.对于命题q，直线m，但是m，n有可能是异面直线，故命题q为假命题，綈q为真命题.所以p(綈q)为真命题.
7、答案(1)A(2)B规律方法1.“pq”、“pq”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“pq”“pq”“綈p”形式命题的真假.2.pq形式是“一假必假，全真才真”，pq形式是“一真必真，全假才假”，綈p则是“与p的真假相反”.【训练1】 (1)若命题“pq”与命题“綈p”都是真命题，则()A.命题p与命题q都是真命题B.命题p与命题q都是假命题C.命题p是真命题，命题q是假命题D.命题p是假命题，命题q是真命题(2)(2020衡水中学检测)命题p：若向量ab0，则a与b的夹角为
8、钝角；命题q：若cos cos 1，则sin()0.下列命题为真命题的是()A.p B.綈q C.pq D.pq解析(1)因为綈p为真命题，所以p为假命题，又pq为真命题，所以q为真命题.(2)当a，b方向相反时，ab0，但夹角是180，不是钝角，命题p是假命题；若cos cos 1，则cos cos 1或cos cos 1，所以sin sin 0，从而sin()0，命题q是真命题，所以pq是真命题.答案(1)D(2)D考点二全称量词与存在量词多维探究角度1含有量词命题的否定【例21】 (2020河南八所重点高中联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：f(x)A，|f(x)|B，则
9、綈p为()A.f(x)A，|f(x)|B B.f(x)A，|f(x)|BC.f(x)A，|f(x)|B D.f(x)A，|f(x)|B解析全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论.綈p：f(x)A，|f(x)|B.答案C角度2全称(特称)命题的真假判断【例22】 (1)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.xR，f(x)f(x)B.xR，f(x)f(x)C.x0R，f(x0)f(x0)D.x0R，f(x0)f(x0)(2)(2020衡水检测)已知命题p：xN*，命题q：xR，2x21x2，则下列命题中是真命题的是()A.pq B.(綈p)qC.p(綈q)
10、 D.(綈p)(綈q)解析(1)定义域为R的函数f(x)不是偶函数，xR，f(x)f(x)为假命题，x0R，f(x0)f(x0)为真命题.(2)因为yxn(nN*)在(0，)上递增.xN*，成立，p为真命题.又2x21x22，当且仅当2x21x，即x时，上式取等号，则q为真命题.因此pq为真命题.答案(1)C(2)A规律方法1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p
11、(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个xx0，使p(x0)成立即可.【训练2】 (1)(角度1)命题“x0R，1f(x0)2”的否定形式是()A.xR，1f(x)2B.x0R，12D.xR，f(x)1或f(x)2(2)(角度2)(2020株洲模拟)已知命题p：x0，exx1，命题q：x(0，)，ln xx，则下列命题正确的是()A.pq B.(綈p)qC.p(綈q) D.(綈p)(綈q)解析(1)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“xR，f(x)1或f(x)2”.(2)令f(x)exx1，则f(x)ex1，当x0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增，
12、f(x)f(0)0，即exx1，命题p真；令g(x)ln xx，x0，则g(x)1，当x(0，1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0，即当x1时，g(x)取得极大值，也是最大值，所以g(x)maxg(1)10，g(x)0在(0，)上恒成立，则命题q假，因此綈q为真，故p(綈q)为真.答案(1)D(2)C考点三由命题的真假求参数典例迁移【例3】 (1)已知命题p：“x0，1，aex”；命题q：“x0R，使得x4x0a0”.若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围为_.(2)(经典母题)已知f(x)ln(x21)，g(x)m，若对x10，3，x21，2，使得f(x1)g(x2)，则实数m
13、的取值范围是_.解析(1)若命题“pq”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由x0，1，aex，得ae；由x0R，使x4x0a0，得164a0，则a4，因此ea4.则实数a的取值范围为e，4.(2)当x0，3时，f(x)minf(0)0，当x1，2时，g(x)ming(2)m，由f(x)ming(x)min，得0m，所以m.答案(1)e，4(2)【迁移】 本例(2)中，若将“x21，2”改为“x21，2”，其他条件不变，则实数m的取值范围是_.解析当x1，2时，g(x)maxg(1)m，对x10，3，x21，2使得f(x1)g(x2)等价于f(x)ming(x)max，得0m，m.答案规律方法
14、1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练3】 已知命题p：xR，2x3x，命题q：xR，x22x，若命题(綈p)q为真命题，则x的值为()A.1 B.1 C.2 D.2解析因为綈p：xR，2x3x，要使(綈p)q为真，所以綈p与q同时为真.由2x3x，得1，所以x0.由x22x，得x1或x2.由知x2.答案D逻辑推理突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的
15、形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类型1形如“对任意x1A，都存在x2B，使得g(x2)f(x1)成立”的问题【例1】 已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)x，g(x)x，若对任意x11，1，总存在x20，2，使得f(x1)2ax1g(x2)成立，求实数a的取值范围.解由题意知，g(x)在0，2上的值域为.令h(x)f(x)2ax3x22xa(a2)，则h(x)6x2，由h(x)0得x.当x时，h(x)0，所以h(x)
16、minha22a.又由题意可知，h(x)的值域是的子集，所以解得实数a的取值范围是2，0.思维升华理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.类型2形如“存在x1A及x2B，使得f(x1)g(x2)成立”的问题【例2】 已知函数f(x)函数g(x)ksin2k2(k0)，若存在x10，1及x20，1，使得f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围.解由题意，易得函数f(x)的值域为0，1，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况
17、，即22k1或2k0，解得k，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是.思维升华本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型3形如“对任意x1A，都存在x2B，使得f(x1)1，x210”，则綈p为()A.x1，x210 B.x1，x210C.x01，x10 D.x01，x10解析命题p：“x1，x210”，则綈p为：x01，x10.答案C2.第32届夏季奥林匹克运动会将于2020年7月24日在日本东
18、京隆重开幕.在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为()A.(綈p)(綈q) B.p(綈q)C.(綈p)(綈q) D.pq解析命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p)(綈q).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“pq”的否定，选A.答案A3.命题“nN*，f(n)N*且f(n)n”的否定形式是()A.nN*，f(n)N*且f(n)nB.nN*，f(
19、n)N*或f(n)nC.n0N*，f(n0)N*且f(n0)n0D.n0N*，f(n0)N*或f(n0)n0解析全称命题的否定为特称命题，该命题的否定是：n0N*，f(n0)N*或f(n0)n0.答案D4.已知命题p：xR，x2x10；命题q：若a2b2，则a0恒成立，所以p为真命题，则綈p为假命题；当a1，b2时，满足a2b2，但不满足ax2，q：“ab4”是“a2，b2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A.pq B.(綈p)qC.p(綈q) D.(綈p)(綈q)解析当x2时，2xx2，所以p是假命题；由a2，b2可以推出ab4；反之不成立，例如a2，b4，所以“ab4”是“a2
20、，b2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以(綈p)(綈q)是真命题.答案D6.已知命题“xR，4x2(a2)x0”是假命题，则实数a的取值范围为()A.(，0) B.0，4C.4，) D.(0，4)解析因为命题“xR，4x2(a2)x0”是假命题，所以其否定命题“xR，4x2(a2)x0”是真命题.则(a2)244a24a0，解得0a0，得3x11，所以01，所以函数y的值域为(0，1)，故命题q为真命题.所以pq为假命题，pq为真命题，p(綈q)为假命题，綈q为假命题.答案B8.已知函数f(x)a2x2a1.若命题“x(0，1)，f(x)0”是假命题，则实数a的取值范围是()A. B.(1
21、，)C. D.(1，)解析函数f(x)a2x2a1，命题“x(0，1)，f(x)0”是假命题，原命题的否定：“x0(0，1)，使f(x0)0”是真命题，f(1)f(0)0，即(a22a1)(2a1)0，解得a，且a1，实数a的取值范围是(1，).答案D二、填空题9.若“x，tan xm”是真命题，则实数m的最小值为_.解析函数ytan x在上是增函数，ymaxtan 1，依题意，mymax，即m1.m的最小值为1.答案110.命题p的否定是“对所有正数x，x1”，则命题p可写为_.解析因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可.答案x0(0，)，x0111.(2020
22、湖南百校大联考改编)下列四个命题：p1：任意xR，2x0；p2：存在xR，x2x10；p3：任意xR，sin xx2x1.其中是真命题的为_.解析xR，2x0恒成立，p1是真命题.又x2x10，p2是假命题.由sin12，知p3是假命题.取x时，coscos，但x2x10恒成立.若pq为假命题，则实数m的取值范围为_.解析由命题p：x0R，(m1)(x1)0可得m1；由命题q：xR，x2mx10恒成立，即m240，可得2m2，若pq为真命题，则21.答案(，2(1，)B级能力提升13.命题“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是()A.xR，nN*，使得nx2B.xR，nN*，使得nx2C.x
23、R，nN*，使得nx2D.x0R，nN*，使得nx解析改变量词，否定结论.该命题的否定应为：x0R，nN*，使得nsin x，则命题pq为真C.命题“x0R，xx010”的否定是“xR，x2x11，命题p是假命题.命题q：当x0时，xsin x，命题q是假命题，则命题pq为假.B选项错误.选项C，命题“x0R，xx010，当m0时，mx20，所以命题p为假命题；当m时，因为f(1)31，所以ff(1)f0，所以命题q为真命题；逐项检验可知，只有(綈p)q为真命题.答案16.(2020漳州八校联考)设p：函数f(x)的定义域为R，q：x(0，1)，使得不等式3x9xa6.由命题“pq”为真命题，
24、“pq”为假命题，可知p，q一真一假，当p真q假时，a不存在；当p假q真时，6a1，所以实数a的取值范围是(6，1).答案(6，1)C级创新猜想17.(组合选择题)(2019全国卷)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：(x，y)D，2xy9；命题q：(x，y)D，2xy12.下面给出了四个命题pq綈pqp綈q綈p綈q这四个命题中，所有真命题的编号是()A. B. C. D.解析由不等式组画出平面区域D，如图阴影部分所示，在图中画出直线2xy9，可知命题p正确，作出直线2xy12，2xy12表示直线及其下方区域，易知命题q错误.綈p为假，綈q为真，pq为真，綈pq为假，p綈q为真，綈p綈q为假.故真命题的编号为.答案A
