1、几何概型一、选择题1已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班,在车站停1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A. B. C. D.解析 试验的所有结果构成的区域长度为10 min,而构成事件A的区域长度为1 min,故P(A).答案 A 2. 设不等式组,表示平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A. B. C. D.答案D3在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子,豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是()A. B.C. D.解析设正方形的边长为2,则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为.答案D4如图所示,边长为2的正
2、方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为,则阴影区域的面积为()A. B. C. D无法计算解析由几何概型知,故S阴22.答案B5在面积为S的ABC的边上AB上任取一点P,则PBC的面积大于的概率是 ()A. B. C. D.解析由ABC,PBC有公共底边BC,所以只需P位于线段BA靠近B的四分之一分点E与A之间,这是一个几何概型,P.答案C6ABCD为长方形,AB2,BC1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为()A. B1 C. D1解析如图,要使图中点到O的距离大于1,则该点需取在图中阴影部分,故概率为
3、P1.答案B7分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为()A. B.C. D.解析设正方形边长为2,阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积,即为2,则阴影区域的面积为24,所以所求概率为P.答案B二、填空题8如图,已知正方形的面积为10,向正方形内随机地撒200颗黄豆,数得落在阴影外的黄豆数为114颗,以此试验数据为依据,可以估计出阴影部分的面积约为_解析 根据随机模拟的思想,这个面积是104.3.答案 4.39小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离
4、大于,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于,则去打篮球;否则,在家看书则小波周末不在家看书的概率为_解析设A小波周末去看电影,B小波周末去打篮球,C小波周末在家看书,D小波周末不在家看书,如图所示,则P(D)1.答案10. 在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为_解析 设线段AC的长为cm,则线段CB的长为()cm,那么矩形的面积为cm2,由,解得。又,所以该矩形面积小于32cm2的概率为,故选C.答案 11在区间0,1上任取两个数a,b,则关于x的方程x22axb20有实数根的概率为_解析由题意得4a24b2
5、0,a,b 0,1,ab.画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比,即所求概率为.答案12如图所示,在直角坐标系内,射线OT落在30角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在yOT内的概率为_解析如题图,因为射线OA在坐标系内是等可能分布的,则OA落在yOT内的概率为.答案三、解答题13如图所示,在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q,求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率解析弦长不超过1,即|OQ|,而Q点在直径AB上是随机的,事件A弦长超过1由几何概型的概率公式得P(A).弦长不超过1的概率为1P(A)1.14设O为坐标原点,点P的坐
6、标(x2,xy)(1)在一个盒子中,放有标号为1,2,3的三张卡片,现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x,y,求|OP|的最大值,并求事件“|OP|取到最大值”的概率;(2)若利用计算机随机在0,3上先后取两个数分别记为x,y,求P点在第一象限的概率解析 (1)记抽到的卡片标号为(x,y),所有的情况分别如下表:(x,y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)P(x2,xy)(1,0)(1,1)(1,2)(0,1)(0,0)(0,1)(1,2)(1,1)(1,0)11011其中基本事件是总数为9,随机事件A“|OP|取最大值”包
7、含2个基本事件,故所求的概率为P(A).(2)设事件B为“P点在第一象限”若则其所表示的区域面积为339.由题意可得事件B满足即如图所示的阴影部分,其区域面积为1311.P(B).15已知|x|2,|y|2,点P的坐标为(x,y),求当x,yR时,P满足(x2)2(y2)24的概率思路分析由题意画出图象可求面积之比解析如图,点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界),满足(x2)2(y2)24的点的区域为以(2,2)为圆心,2为半径的圆面(含边界)所求的概率P1.【点评】 解决几何概型的概率问题一般利用图形辅助解题,分析题目,找到区域,对照定义可求得结果,较好地体现了数形结合思想的重要性.
8、16已知集合A2,0,2,B1,1,设M(x,y)|xA,yB,在集合M内随机取出一个元素(x,y)(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x2y21上的概率;(2)求以(x,y)为坐标的点位于区域D:内(含边界)的概率解析(1)记“以(x,y)为坐标的点落在圆x2y21上”为事件A,则基本事件总数为6.因落在圆x2y21上的点有(0,1),(0,1)2个,即A包含的基本事件数为2,所以P(A).(2)记“以(x,y)为坐标的点位于区域内”为事件B,则基本事件总数为6,由图知位于区域D内(含边界)的点有:(2,1),(2,1),(0,1),(0,1),共4个,即B包含的基本事件数为4,故P(B).