1、学业分层测评(八)双曲线的标准方程(建议用时:45分钟)学业达标一、填空题1.椭圆1与双曲线1有相同的焦点,则m的值是_.【解析】验证法:当m1时,m21,对椭圆来说,a24,b21,c23.对双曲线来说,a21,b22,c23,故当m1时,它们有相同的焦点.直接法:显然双曲线焦点在x轴上,故4m2m22.m21,即m1.【答案】12.已知双曲线的一个焦点坐标为(,0),且经过点(5,2),则双曲线的标准方程为_. 【导学号:24830036】【解析】依题意可设双曲线方程为1(a0,b0),则有解得故双曲线的标准方程为y21.【答案】y213.(2016通州高二检测)已知双曲线1(a0,b0)
2、的两个焦点分别为F1(2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线上,则双曲线方程为_.【解析】PF14,PF22,PF1|PF222a,所以a,又c2,故b2c2a22,所以双曲线的方程为1.【答案】14.若双曲线2x2y2k的半焦距为3,则k的值为_.【解析】若焦点在x轴上,则方程可化为1,k32,即k6.若焦点在y轴上,则方程可化为1,k32,即k6.综上,k的值为6或6.【答案】6或65.若方程3表示焦点在y轴上的双曲线,则m的取值范围是_.【解析】由题意,方程可化为3,解得m0,b0),则将a4代入,得1,又点A(4,3)在双曲线上,1.解得b29,则1,若所求双曲线方程为1(a0
3、,b0).同上,解得b20,不合题意,双曲线的方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn1时,t20,t210,且t2t21,曲线C为椭圆;当|t|0,t211时,曲线C是椭圆,且t2t21,因此c2a2b2t2(t21)1,焦点为F1(1,0),F2(1,0).当|t|0,b0),且c3,a2b29.由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4,可得两交点的坐标为A(,4)、B(,4),由点A在双曲线上知,1.解方程组得所求曲线的方程为1.【答案】13.方程1表示的曲线为C,给出下列四个命题:曲线C不可能为圆;若1k4,则曲线C为椭圆;若曲线C为双曲线,则k4;若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1k0,k时,方程表示圆,故错误;当4k0,k10且4kk1即1k4且k时,曲线表示椭圆,故错误;当(4k)(k1)4或kk10,即1k,故正确.【答案】4.已知双曲线1的左、右焦点分别是F1、F2,若双曲线上一点P使得F1PF260,求F1PF2的面积.【解】由1,得a3,b4,c5.由定义和余弦定理得PF1PF26,F1FPFPF2PF1PF2cos 60,所以102(PF1PF2)2PF1PF2,所以PF1PF264,SF1PF2PF1PF2sin F1PF26416.