1、考纲要求：1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置3理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化4能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：xx0，yy0的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系(1)极
2、坐标系的概念极坐标系如图所示，在平面内取一个O，点 O 叫做极点，自极点O 引一条Ox，Ox 叫做极轴；再选定一个、一个(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系定点射线长度单位角度单位极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为 0，可取任意实数点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与表示同一个点，特别地，极点 O 的坐标为，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有种表示(，2k)(kZ)(0，)(R)无数如果规定 0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的(2)极坐标与直角坐标的互化设 M 是平面内任意一点，它的直角坐
3、标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：xcos，ysin；2x2y2，tan yxx0.(，)3常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为 r的圆圆心为(r,0)，半径为 r的圆圆心为r，2，半径为r 的圆r(02)2rcos（22）2rsin_(0)曲线图形极坐标方程过极点，倾斜角为 的直线(1)或；(2)和过点(a,0)，与极轴垂直的直线过点a，2，与极轴平行的直线(R)(R)cos a(22)sin_a(0)自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆()(2)在伸缩变换下，椭圆可变为圆，圆可变为
4、椭圆()(3)过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程可表示为 或.()(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 2asin.()答案：(1)(2)(3)(4)2设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x12x，y3y，则在这一坐标变换下正弦曲线 ysin x 的方程变为_解析：由x12x，y3y，知x2x，y13y.代入 ysin x 中得 y3sin 2x.答案：y3sin 2x3点 P 的直角坐标为(1，3)，则点 P 的极坐标为_解析：因为点 P(1，3)在第四象限，与原点的距离为 2，且 OP 与 x 轴所成的角为3，所以点 P 的极坐标为2，3.答案：2，34曲线
5、4sin 与 2 的交点坐标是_解析：由4sin，2，sin 12，6或56.答案：2，6 或2，565在极坐标系中，圆心在(2，)且过极点的圆的方程为_解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A(，)，则ABO2，OB2 2sin2，化简得 2 2cos .答案：2 2cos 6在极坐标系中，曲线 C1：2cos sin 1 与曲线 C2：a(a0)的一个交点在极轴上，则 a_.解析：曲线 C1 的直角坐标方程为 2xy1，曲线 C2 的直角坐标方程为 x2y2a2，曲线 C1与 x 轴的交点坐标为22，0，此点也在曲线 C2 上，代入解得 a 22.答案：22典题 1(1)在同一平面直角坐标
6、系中，已知伸缩变换：x3x，2yy.求点 A13，2 经过 变换所得的点 A的坐标(2)求直线 l：y6x 经过：x3x，2yy，变换后所得到的直线 l的方程 听 前 试 做 (1)设 A(x，y)，由 伸 缩 变 换 ：x3x，2yy，得到x3x，y12y，由于点 A 的坐标为13，2，于是 x3131，y12(2)1，A(1，1)为所求(2)设直线 l上任意一点 P(x，y)，由上述可知，将x13x，y2y代入 y6x 得2y613x，yx，即 yx 为所求平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示在伸缩变换xx，0，yy，0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线
7、，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆求双曲线 C：x2y2641 经过：x3x，2yy，变换后所得曲线 C的焦点坐标解：设曲线 C上任意一点 P(x，y)，由上述可知，将x13x，y2y代入 x2y2641 得x29 4y264 1，化简得x29y216 1，即x29 y2161 为曲线 C的方程，可见仍是双曲线，则所求焦点坐标为 F1(5,0)，F2(5,0)典题2(1)(2015广东高考改编)已知直线l的极坐标 方 程 为 2sin4 2，点 A 的 极 坐 标 为A2 2，74，求点 A 到直线 l 的距离(2)(2015江苏高考)已知圆 C 的极坐标方程为 22 2sin4 40，求圆
8、C 的半径听前试做(1)由 2sin4 2，得 222 sin 22 cos 2，yx1.由点 A 的极坐标为2 2，74 得点 A 的直角坐标为(2，2)，d|221|25 22.(2)以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为22 222 sin 22 cos 40，化简，得 22sin 2cos 40.则圆 C 的直角坐标方程为 x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆 C 的半径为 6.极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以 或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有 cos，sin，
9、2 的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程(2)巧借两角和差公式，转化 sin()或 cos()的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程(3)将直角坐标方程中的 x 转化为 cos，将 y 换成 sin，即可得到其极坐标方程1(1)把点 M 的极坐标5，6 化成直角坐标；(2)把点 M 的直角坐标(3，1)化成极坐标解：(1)x5cos652 3，y5sin652，点 M 的直角坐标是52 3，52.(2)3212 312，tan 1 3 33.点 M 在第三象限，0，最小正角 76.因此，点 M 的极坐标是2，76.2O1 和O2 的极坐标方程分别为 4cos，4sin.(1)把O1 和O
10、2 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1，O2 交点的直线的直角坐标方程解：以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位(1)4cos，两边同乘以，得 24cos；4sin，两边同乘以，得 24sin.由 cos x，sin y，2x2y2，得O1，O2 的直角坐标方程分别为 x2y24x0 和 x2y24y0.(2)x2y24x0，x2y24y0.得4x4y0，即 xy0 为所求直线方程典题 3(2015新课标全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(
11、1)求 C1，C2 的极坐标方程；(2)若直线 C3 的极坐标方程为 4(R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求C2MN 的面积听前试做(1)因为 xcos，ysin，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2，C2 的极坐标方程为 22cos 4sin 40.(2)将 4代入 22cos 4sin 40，得23 240，解得 12 2，2 2.故 12 2，即|MN|2.由于 C2 的半径为 1，所以C2MN 的面积为12.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决1在极坐标系下，已知圆 O：
12、cos sin 和直线 l：sin4 22.(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标解：(1)圆 O：cos sin，即 2cos sin，圆 O 的直角坐标方程为：x2y2xy，即 x2y2xy0，直线 l：sin4 22，即 sin cos 1，则直线 l 的直角坐标方程为：yx1，即 xy10.(2)由x2y2xy0，xy10，得x0，y1，故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为1，2.2在极坐标系中，曲线 C1 和 C2 的方程分别为 sin2cos 和 sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴
13、，建立平面直角坐标系，求曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标解：由 sin2cos 2sin2cos y2x，又由 sin 1y1，联立y2x，y1x1，y1.故曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为(1,1)方法技巧求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设 P(，)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程易错防范1简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中 和 的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得出同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题2把直角坐标化为极坐标，求极角 时，应注意判断点 P所在的象限(即角 的终边的位置)，以便正确地求出角.
