1、901.302ABCCAACABC中,求的外接圆的半径VVRt2 3cos304.30322.ABCABACACABABcosABC的斜边就是其外接圆的直径由,得所以的外接圆的半径解析:等于VV2.如图,设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,BAC的平分线与BC交于点D.已知BC=5,EC=4,求ED的长 解析:由切割线定理得AE2=ECEB=4(4+5)=36,所以AE=6.因为AE为切线,所以EAC=B.又EAD=EAC+CAD,EDA=B+BAD.且CAD=BAD,所以EAD=EDA,所以DE=AE=6.3.(2011江苏省扬州中学模拟)如图,设AB为O的任一条不与直线l垂直
2、的直径,P是O与l的公共点,ACl,BDl,垂足分别为C,D,且PC=PD.求证:(1)l是O的切线;(2)PB平分ABD.解析:(1)连接OP,因为ACl,BDl,所以ACBD.又OA=OB,PC=PD,所以OPBD,从而OPl.因为P在O上,所以l是O的切线(2)连接AP,因为l是O的切线,所以BPD=BAP.又BPD+PBD=90,BAP+PBA=90,所以PBA=PBD,即PB平分ABD.4.已知圆O的直径AB=13,C为圆上一点,过C作CDAB于D(ADBD)若CD=6,求AD的长22212.90.6131336049.9.ACCBABOACBADxCDABCDAD DBxxxxxx
3、ADBDADe如图,连接,因为是的直径,所以设因为,所以由直角三角形射影定理得,即,所以,解得,因为,所以解析:5.如图,PA切O于点A,D为PA的中点,过点D引O的割线交O于B、C两点求证:DPB=DCP.22.PAADADB DCDPADPDAPDDBDPDB DCDCPDBDPPDCBDPPDCDPBDCP VV因为与圆相切于,所以,因为 为中点,所以,所以,即因为,所以,所以解析:圆的切线的判定 .1ABOBPOBOAC OPPCOPCBADPBACDAODPOP12如图,是的直径,切于,的弦求证:是的切线;若切线和的延长线交于点,且等于的半径,则【例】【解析】(1)连结OC.因为AC
4、OP,所以ACO=COP,CAO=POB.由OA=OC,得OAC=OCA,所以COP=POB.在COP和BOP中,,POPOCOPBOPCOBO 所以COPBOP,所以PBO=PCO=90,所以PC是的切线.(2)由COPBOP,得DPO=OPB,所以.因为DA=OA=OB,所以又因为AD等于O的半径,ACOP,所以,所以.PBBOPDOD12PBPD12ACDAOPDOPBACDPOP本题主要考查圆的切线的判定及比例线段的证明,考查平面几何的推理论证能力.要证直线PC是O的切线,只要证OCPC即可;要求比例线段,可通过中间比来过渡,结合图形,利用条件即可获证.【变式练习1】如图,AB是O的直
5、径,C,F为O上的点,CA是BAF的角平分线,过点C作CDAF交AF的延长线于D点,作CMAB,垂足为点M.求证:(1)DC是O的切线;(2)AM MB=DF DA.【解析】连结OC,则OAC=OCA.又因为CA是BAF的角平分线,所以OAC=FAC,所以FAC=OCA,所以OCAD.因为CDAD,所以CDOC,即CD是O的切线.(2)连结BC.在RtACB中,CM2=AM MB.因为CD是O的切线,所以CD2=DF DA.又RtAMCRtADC,所以CM=CD,所以AM MB=DF DA.切割线定理及其应用2222.ABDABCDABCDECTTCBFBECTBC如图,已知是半圆的直径,是上
6、的一点,交半圆于点,是半圆的切线,是切点,交半圆于,求证:【例】【解析】连结AE,AF.因为AB是圆O的直径,所以AEB=AFB=90.又CDB=90,ABC=DBF,所以DBCFBA,所以,即AB BD=BC BF.ABBFCBBD因为AEB=90,CDAB,所以BE2=BD AB(直角三角形射影定理).因为CT是切线,CB是割线,所以CT2=CF CB.所以BC2-CT2=BC2 CF CB=BC (BC-CF)=BC BF,所以 BE2=BC2-CT2,即BE2+CT2=BC2.有切线有割线,考虑利用切割线定理;有直径,莫忘直角;有平方形式,考虑直角三角形射影定理.【变式练习2】如图,A
7、B是O的直径,C,F是O上的两点,OCAB,过点F作O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证:DE2DBDA.【解析】连结OF.因为DF切O于F,所以OFD90.所以OFCCFD90.因为OCOF,所以OCFOFC.【解析】因为COAB于O,所以OCFCEO90.所以CFDCEODEF,所以DFDE.因为DF是O的切线,所以DF2DBDA.所以DE2DBDA.四点共圆及其应用【例3】如图,已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,B=60,F在AC上,且AE=AF.证明:(1)B,D,H,E四点共圆;(2)CE平分DEF.【解析】(1)在ABC中,因为B=60,所以BAC
8、+BCA=120.因为AD、CE是角平分线,所以HAC+HCA=60,所以AHC=120,所以EHD=AHC=120.因为EBD+EHD=180,所以B,D,H,E四点共圆.(2)连结BH,则BH为ABC的平分线.由(1)知,B,D,H,E四点共圆,CED=HBD=30.又EBD=AHE=60,由已知可得EFAD,CEF=30,所以CE平分DEF.本题是对考生几何推理论证能力的综合考查,所用到的知识较多,证明的关键是根据四点共圆的条件进行证明.在解题时要根据已知条件,通过等量代换将角集中到一个四边形中,达到使用条件的目的.12.?.3OOMNAEMNABCDEAB CDBC DE如图,与交于、
9、两点,直线与这两个圆及依次交于、【变式练习】求证:.()().AMDNAC CDMC CNBC CEMC CNAC CDBC CEABBC CDBC CDDEAB CDBC DE因为,四点共圆,所以同理,有所以,即,所以【证明】601.40(201.1)ABCOABCBACOEABEECOECe锐角三角形内接于,作交劣弧于点,连接,求南通期末卷.604080.80.8080160.10.OCABCBACACBOEABEABBEBCEOCOEC 连接因为,所以因为,所以 为的中点,所以和的度数均为所以所以【解析】2.(2011南通三模卷)如图,O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为
10、 O 上 一 点,AE=AC,求 证:PDE=POC.解析:因为AE=AC,AB为直径,故OAC=OAE.所以POC=OAC+OCA=OAC+OAC=EAC.又EAC=PDE,所以PDE=POC.4 cm3 cm6 cm.2 53c.mOABCDPPAPBPCEAOAAECDEAEPE如图所示,的弦、相交于点,切于点,与的延长线交于点若,求的长ee264 32 cm2082 cm4 cmPD PCPA PBPDPDEAOEAED ECEDEDEDPEe根据相交弦定理,得,所以,所以 因为是的切线,所以,所以,所以,则解析:【解析】根据相交弦定理,得PD PC=PA PB,所以PD 6=43,所
11、以PD=2(cm).因为EA是O的切线,所以EA2=ED EC,所以 20=ED (ED+8),所以ED=2(cm),则PE=4(cm).4.已知O1和O2都经过A、B两点,经过点A的直线CD与O1交于点C,与O2交于点D.经过点B的直线EF与O1交于点E,与O2交于点F.求证:CEDF.【解析】如图,连结AB.因为四边形ABEC是O1的内接四边形,所以BAD=E.因为四边形ADFB是O2的内接四边形,所以BAD+F=180.所以E+F=180,所以CEDF.ABCCMACBAMCBCNACABBNAM1225 在中,已知是的平分线,的外接圆交于点若,求证:.ABCCMACBACAMBCBMA
12、BAMACABBCBMBMABNCOBBABNBMBABNBCBCBMAMBNBNAMBMBM12222在中,因为是的平分线,所以又已知,所以又因为与是圆 过同一点 的割线,所以,即由【、可知所证明,】以1.2.圆周角定理及其推论主要应用于证明弦相等、弧相等、角相等和线垂直等圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理、割线定理、切割线定理在证明、计算和作图中有着广泛的应用,是高考的必考内容,这几个定理既有联系又有区别,在复习时,应放在一起研究3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法:(1)直接应用相交弦定理、切割线定理及其推论;(2)找相似三角形,当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用基本定理推导时,通常是由“三点定形法”证三角形相似,其一般思路为等积式比例式中间比相似三角形.4.与圆有关的常用辅助线(1)有弦,可作弦心距;(2)有直径,可作直径所对的圆周角;(3)有切点,可作过切点的半径;(4)两圆相交,可作公共弦;(5)两圆相切,可作公切线;(6)两半圆,可作整圆.