1、章末分层突破自我校对2Rsin A2Rsin B2Rsin Csin Asin Bsin C两角与任一边两边与其中一边的对角三边两边与它们的夹角高度距离角度三角形面积_利用正、余弦定理解三角形解三角形的类型及一般方法：(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由ABC，求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC，求另一角(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意可能有多种解的情况(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A
2、，B，C.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2ab)cos Cccos B，ABC的面积S10，c7.(1)求角C；(2)求a，b的值【精彩点拨】由正弦定理及三角恒等变换求(1)；结合余弦定理求(2)【规范解答】(1)(2ab)cos Cccos B，(2sin Asin B)cos Csin Ccos B，2sin Acos Csin Bcos Ccos Bsin C，即2sin Acos Csin(BC)，2sin Acos Csin A.A(0，)，sin A0，cos C，C.(2)由Sabsin C10，C，得ab40.由余弦定理得c2a2b22abcos C，
3、即c2(ab)22ab，72(ab)2240，ab13.由得a8，b5或a5，b8.再练一题1ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.【解】(1)由正弦定理，得asin Bbsin A，又asin Asin Bbcos2Aa，bsin2Abcos2Aa，即ba，因此.(2)由c2b2a2及余弦定理，得cos B，(*)又由(1)知，ba，b22a2，因此c2(2)a2，caa.代入(*)式，得cos B，又0B，所以B.判断三角形的形状判断三角形的形状，主要有两种方法：方法一：将已知式所有的边和角转化为边边
4、关系，通过因式分解、配方等得出边之间的相应关系，从而判断三角形的形状方法二：将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角之间的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用“ABC”这个结论在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解已知ABC中，sin A，试判断ABC的形状【精彩点拨】若化A180(BC)，利用三角变换较为繁琐，因而可考虑利用正、余弦定理化为边的关系，利用三角恒等变形进行求解【规范解答】由正弦定理和余弦定理，得，bc，(b2c2a2)0.0，b2c2a20，b2c2a2，ABC为直角三角形再练一题2在ABC中，acos Ab
5、cos Bccos C，试判断三角形的形状【解】由余弦定理知cos A，cos B，cos C，代入已知条件得abc0，通分得a2(b2c2a2)b2(c2a2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形.正、余弦定理在实际中的应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用常见的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，解决的基本思路是画出正确的示意图把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求
6、如图11所示，在塔底B处测得山顶C的仰角为60，在山顶C测得塔顶A的俯角为45，已知塔高AB为20 m，求山高CD.(精确到0.1 m)图11【精彩点拨】CD可放到BCD中，要求CD，已知DBC60，CDB90，所以只需求BD或CB，在ABC中，AB的长度已知，三个内角都可以求出，所以可求得CB，则CDCBsin 60.【规范解答】由条件知DBC60，ECA45，ABC906030，ACB604515，CAB180(ABCACB)135.在ABC中，由正弦定理得，BC.在RtBCD中，CDBCsinCBD47.3(m)山高CD约为47.3 m.再练一题3如图12所示，一辆汽车从A市出发沿海岸一
7、条直公路以100 km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500 km且与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交送给这辆汽车的司机图12(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中；(2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角；(3)若快艇每小时最快行驶75 km，快艇应如何行驶才能尽快把稿件交到司机手中，最快需要多长时间【解】(1)如图(1)所示，设快艇以v km/h的速度从B处出发，沿BC方向，t小时后与汽车在C处相遇(1)在ABC中，AB500，AC100t，BCvt，BD为AC边上的高，BD300.设BAC，则sin
8、 ，cos ，由余弦定理BC2AC2AB22ABACcos ，v2t2(100t)250022500100t，整理得：v210 000250 00010 000250 00023 600.当，即t(h)时，v3 600，即快艇至少以60 km/h的速度行驶时才能把稿件送到司机手中(2)当v60 km/h时，在ABC中，AB500，AC100625，BC60375，由余弦定理cosABC0，ABC90，故快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成角为90.(3)如图(2)所示，设快艇以75 km/h的速度沿BE行驶，t h后与汽车在E处相遇在ABE中，AB500，(2)AE100t，BE75t，c
9、osBAE.由余弦定理(75t)25002(100t)22500100t，整理得t4或t(舍)，当t4时，AE400，BE300，AB2AE2BE2，所以快艇应以垂直于海岸向北行驶才能尽快把稿件交到司机手中，最快需要4 h.转化和化归思想的应用本章主要讲解应用正、余弦定理解三角形，其中应用两个定理解题的过程渗透着边角互化的思想，如正弦定理中的“abcsin Asin Bsin C”等，对所解(证)问题合理转化是求解斜三角形的关键在锐角ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a2bsin A，求cos Asin C的取值范围【精彩点拨】a2bsin Asin A2sin Bsin Asin
10、 B求B.cos Asin Ccos Asin(AB)Asin(A)求范围【规范解答】设R为ABC外接圆的半径a2bsin A，2Rsin A4Rsin Bsin A，sin A0，sin B，B为锐角，B.令ycos Asin Ccos Asincos Asincos Asin cos Acos sin Acos Asin Asin.由锐角ABC知，BA，A.A，sin，sin，即y，cos Asin C的取值范围是.再练一题4在ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，证明：.【证明】由余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，得a2b2b2a22c(acos
11、 Bbcos A)，即a2b2c(acos Bbcos A)，变形得cos Bcos A，由正弦定理，得，.1(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.【解析】因为A，C为ABC的内角，且cos A，cos C，所以sin A，sin C，所以sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又a1，所以由正弦定理得b.【答案】2(2015全国卷)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_【解析】如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE.在等
12、腰三角形CFB中，FCB30，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.AB.【答案】(，)3(2016北京高考)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求B的大小；(2)求cos Acos C的最大值【解】(1)由余弦定理及题设得，cos B.又因为0B，所以B.(2)由(1)知AC.cos Acos Ccos Acoscos Acos Asin Acos Asin Acos.因为0A，所以当A时，cos Acos C取得最大值1.4(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)
13、求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长【解】(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.5(2015江苏高考)在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值【解】(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos A492237，所以BC.(2)由正
14、弦定理知，所以sin Csin A.因为ABBC，所以C为锐角，则cos C.因此sin 2C2sin Ccos C2.章末综合测评(一)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填在题中的横线上)1(2015安徽高考)在ABC中，AB，A75，B45，则AC_.【解析】C180754560，由正弦定理得，即，解得AC2.【答案】22在ABC中，已知c6，a4，B120，则b_.【解析】由b21636246cos 120，得b2.【答案】23在ABC中，a4，b4，A30，则B_.【解析】sin B.又aA，B60或120.【答案】60或1204
15、在ABC中，化简bcos Cccos B_.【解析】利用余弦定理，得bcos Cccos Bbca.【答案】a5在ABC中，若sin Asin Bsin C234，则cos C_.【解析】sin Asin Bsin Cabc，abc234.设a2k，b3k，c4k，则cos C.【答案】6在ABC中，若A60，b16，SABC220，则a_.【解析】由bcsin A220，可知c55.又a2b2c22bccos A2 401，a49.【答案】497在ABC中，若sin A，a10，则边长c的取值范围是_【解析】，csin C，0b，CB，故有两解；(3)中，A90，a5，c2，b，即有解，故(
16、1)(2)(3)都不正确所以答案为(4)【答案】(4)9已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b_.【解析】化简23cos2Acos 2A0，得23cos2A2cos2A10，解得cos A.由余弦定理，知a2b2c22bccos A，代入数据解方程，得b5.【答案】510在ABC中，若，那么ABC是_三角形【解析】由正弦定理得，sin sin sin .0，0，且0B，sin B.由正弦定理得，sin A.(2)SABCacsin B4，2c4，c5.由余弦定理得b2a2c22accos B225222517，b.17(本小题满分1
17、4分)(2016南京高二检测)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cos B，ABC的周长为5，求b的长【解】(1)由正弦定理，设k，则，所以，即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化简可得sin(AB)2sin(BC)又ABC，所以sin C2sin A.因此2.(2)由2，得c2a，由余弦定理及cos B得b2a2c22accos Ba24a24a24a2，所以b2a.又abc5，从而a1，因此b2.18(本小题满分16分)在ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2
18、cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状. 【导学号：91730019】【解】(1)由2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，b2c2a2bc，2bccos Abc，cos A，又A(0，)，A.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，又sin Bsin C1，得sin Bsin C.又B，C，故BC.所以ABC是等腰三角形19(本小题满分16分)(2016镇江高二检测)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(AB)cos Bsin(
19、AB)sin(AC).(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影【解】(1)由cos(AB)cos Bsin(AB)sin(AC)，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，则cos(ABB)，即cos A.又0Ab，则AB，故B.根据余弦定理，有(4)252c225c，解得c1或c7(负值舍去)故向量在方向上的投影为|cos B.20(本小题满分16分)如图3，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在
20、甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.图3(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解】(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsinsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d m，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t min时，甲、乙两游客距离最短(3)由，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内
