1、1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 第一章 空间向量与立体几何 学 习 任 务核 心 素 养 1.了解空间直角坐标系(易混点)2.掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念(重点)3.能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标(重点、难点)1.通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升数学抽象的核心素养.2.通过空间向量的坐标表示，培养数学运算的核心素养.情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2(1)如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？(2)我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，
2、就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置那么，怎样才能刻画空间中点的位置呢？知识点 1 空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念在空间选定一点 O 和一个基底i，j，k以点 O 为原点，分别以 i，j，k 的方向为、以它们的长为建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴这时就建立了一个空间直角坐标系 Oxyz，O 叫做，i，j，k 都叫做坐标向量单位正交正方向单位长度原点通过的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分每两条坐标轴OxyOyzOzx(2)空间直角坐标系的画法和右手直角坐标系空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使xO
3、y_，yOz.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向的正方向，食指指向的正方向，如果中指指向的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系本书建立的坐标系都是右手直角坐标系z轴90 x轴y轴135(或 45)1.用刀切一个圆形西瓜，如何做到“三刀切八块”？提示 纵向交叉切两刀，再横向切一刀1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间直角坐标系中 x 轴与 y 轴的夹角为 45.()(2)空间直角坐标系中有三个坐标平面，它们把空间分成四个部分()(3)在空间中可建立无数个空间直角坐标系()提示(1)空间直角坐标系中，三条坐标轴相互垂直(2)空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成
4、8 个部分(3)原点位置不同，就得到不同的空间直角坐标系 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数(即它的坐标)表示，对空间直角坐标系中的一个点和向量，是否也有类似的表示呢？知识点 2 空间中点的坐标和空间向量的坐标(1)点的坐标在空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k 为坐标向量，对空间任意一点 A，对应一个向量OA，且点 A 的位置由向量OA 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA xiyjzk.在单位正交基底i，j，k下与向量OA 对应的叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点 A的横坐标，叫做点 A 的纵坐标，叫做点 A 的竖
5、坐标有序实数组(x，y，z)A(x，y，z)xyz(2)空间向量的坐标在空间直角坐标系 Oxyz 中，给定向量 a，作OA a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 axiyjzk.有序实数组(x，y，z)叫做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标，上式可简记作_a(x，y，z)2.(1)空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？(2)空间向量的坐标和空间向量终点的坐标有什么关系？提示(1)x 轴上的点纵坐标、竖坐标都为 0，即(x,0,0)；y 轴上的点横坐标、竖坐标都为 0，即(0，y,0)；z 轴上的点横坐标、纵坐标都为 0，即(0,0，z)(2)当空间向量
6、的起点在原点时，空间向量的坐标恰好是空间向量终点的坐标2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若向量 axe1ye2ze3，则 a 的坐标是(x，y，z)()(2)若向量AB(x，y，z)，则点 B 的坐标是(x，y，z)()(3)若点 A 的坐标为(x，y，z)，则OA(x，y，z)()(4)若四边形 ABCD 是平行四边形，则向量AB与DC 的坐标相同()提示(1)e1，e2，e3不一定是单位正交基底(2)点 A 不一定和原点 O 重合(3)根据空间向量的坐标定义可知(4)由ABDC 可知AB与DC 的坐标相同 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 求空间点的坐
7、标【例 1】(1)(对接教材 P18 例题)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，|AB|4，|AD|3，|AA1|5，N 为棱 CC1 的中点，分别以 DA，DC，DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系顶点 A1，B 的坐标分别为_；长方形 BB1C1C 对角线交点的坐标为_(2)在棱长均为 2a 的正四棱锥 P-ABCD 中，建立恰当的空间直角坐标系写出正四棱锥 P-ABCD 各顶点的坐标；写出棱 PB 的中点 M 的坐标(1)(3,0,5)，(3,4,0)32，4，52 (1)由OA1 3i0j5k 得A1(3,0,5)，由OB 3i4j0k 得 B(
8、3,4,0)设长方形 BB1C1C 对角线的交点为 E，则点 E 为线段 BC1 的中点，又 C1(0,4,5)，点 E 的坐标为32，4，52.(2)解 如图，连接 AC，BD 交于点 O，连接 PO.四棱锥 P-ABCD 为正四棱锥，且棱长均为2a.四边形 ABCD 为正方形，且 PO平面ABCD OA 2a，PO PA2OA2 2a2 2a2 2a.以点 O 为坐标原点，OA，OB，OP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图 正四棱锥 P-ABCD 中各顶点坐标分别为 A(2a,0,0)，B(0，2a,0)，C(2a,0,0)，D(0，2a,0)，P(0,0，2
9、a)M 为棱 PB 的中点，M002，2a02，0 2a2，即 M0，22 a，22 a.1建立空间直角坐标系的原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面(2)充分利用几何图形的对称性 2求某点 M 的坐标的方法 作 MM垂直平面 Oxy，垂足 M，求 M的横坐标 x，纵坐标 y，即点 M 的横坐标 x，纵坐标 y，再求 M 点在 z 轴上射影的竖坐标 z，即为 M 点的竖坐标 z，于是得到 M 点的坐标(x，y，z)跟进训练1.如图，棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 AB 的中点，F 是 BB1 的中点，G 是 AB1 的中点，试建立适当的坐标系，并确定 E，
10、F，G 三点的坐标解 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴、y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系，E 点在 Dxy 平面中，且|EA|12.所以DE i12j0k，所以 E 点的坐标为1，12，0.同理 B 点和 B1 点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，又因为 F 是 BB1 的中点，故 F 点坐标为1，1，12.同理可得 G 点坐标为1，12，12.类型 2 求对称点的坐标【例 2】在空间直角坐标系中，点 P(2,1,4)(1)求点 P 关于 x 轴的对称点的坐标；(2)求点 P 关于 Oxy 平面的对称点的坐标；(3)求点 P 关于点 M(2，
11、1，4)的对称点的坐标解(1)由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P1(2，1，4)(2)由于点 P 关于 Oxy 平面对称后，它在 x 轴、y 轴的分量不变，在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P2(2,1，4)(3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点由中点坐标公式，可得 x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以 P3(6，3，12)1点 P(x，y，z)关于坐标轴，坐标平面对称的点 P的坐标与点P 的坐标有什么关系？提示 关于谁对称、谁保持不变，其余坐标相反2
12、点 P(a，b，c)关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标是什么？对称轴或对称中心对称点坐标 x 轴(a，b，c)y 轴(a，b，c)z 轴(a，b，c)Oxy 平面(a，b，c)Oyz 平面(a，b，c)Ozx 平面(a，b，c)P(a，b，c)坐标原点(a，b，c)跟进训练2点 P(3,2，1)关于平面 Ozx 的对称点是_，关于 z轴的对称点是_，关于 M(1,2,1)的对称点是_(3，2，1)(3，2，1)(5,2,3)点 P(3,2，1)关于平面 Ozx 的对称点是(3，2，1)，关于 z 轴的对称点是(3，2，1)设点 P(3,2，1)关于 M(1,2,1)的对称点为(x，y，z
13、)则 x32 1，y22 2，z12 1，解得x5，y2，z3.故点 P(3,2，1)关于点 M(1,2,1)的对称点为(5,2,3)类型 3 求空间向量的坐标【例 3】如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面ABC 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，M，N 分别为 A1B1，A1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量CB，BN，BA1 的坐标解 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，设CAi，CBj，12CC1 k，则CB0ij0k(0,1,0)，BNANABkCACBijk(1，1,1)，BA1 CA1 CBCACC1 CBij2k(1，1,2)求空间向量坐标的步骤跟进训练3
14、如图，PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是AB，PC 的中点，并且 PAAB1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量BC，CD，MN 的坐标解 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，设ABi，AD j，APk，则BCAD 0i1j0k(0,1,0)，CD ABi0j0k(1,0,0)，MN MA APPN 12ABAP12PC 12ABAP12(PAAC)12ABAP12(PAABAD)12AD 12AP12j12k 0，12，12.当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1点 P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在()Ay 轴上 BOxy 面上COzx 面上DO
15、yz 面上C 点 P 的纵坐标为 0，因此点 P 在 xOz 面上，故选 C2 1 3 4 5 2.如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点 A 的坐标是()A(1，1，1)B(1，1,1)C(1，1，1)D(1,1，1)C 依据空间点的坐标定义可知，点 A 的坐标为(1，1，1)，故选 C3 1 2 4 5 3在空间直角坐标系中，点 P(3,1,5)关于 Ozx 平面对称的点的坐标为()A(3，1,5)B(3，1,5)C(3，1，5)D(3,1，5)A 点 P(3,1,5)关于 Ozx 平面对称的点的坐标为(3，1,5)故选A4 1 2 3 5 4在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，
16、若AB3i，AD 2j，AA1 5k，则向量AC1 在基底i，j，k下的坐标是_(3,2,5)AC1 ABBCCC1 3i2j5k(3,2,5)2 4 5 1 3 5已知点 P(2,3，1)关于坐标平面 Oxy 的对称点为 P1，点 P1关于坐标平面 Oyz 的对称点为 P2，点 P2 关于 z 轴的对称点为 P3，则点 P3 的坐标为_(2，3,1)由题意知 P1(2,3,1)，P2(2,3,1)，P3(2，3,1)回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)在空间几何图形中如何建立空间直角坐标系？提示 观察图形，寻找两两垂直的三条直线，必要时作辅助线 让尽量多的点落在坐标轴或坐标平面内 充分利用几何图形的对称性(2)如何确定空间一点 P 的坐标？提示 先将 P 投射(沿与 z 轴平行的方向)到 Oxy 平面上的一点P1，由 P1P 的长度及与 z 轴正方向的异同确定竖坐标 z，再在 Oxy 平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定 P1 的横坐标 x，纵坐标 y，最后得出点 P 的坐标(x，y，z)(3)如何求空间向量的坐标？提示 在空间直角坐标系中，把向量用单位正交基底i，j，k表示，从而求出空间向量的坐标点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
