1、浙江省宁波市2023-2024高三上学期选考模拟考试数学试卷全卷共 4页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。l已知 z1=a-i,z2=l+bi(a,b eR,i 为虚数单位），若Z1 Z2 是实数，则A.ab-1=0B.ab+l=O C.a-b=O D.a+b=O2.设集合 U=R,集合 M=x忙2xO,N=中 log2(1-x)，则 xlxbcC.cab B.bacD.bca6.设 0 为坐标原点，F;,F2 为椭圆 C：王=1的焦点，点 P在 C上，IOPI=.Jf，则
2、 cosLF;PF;=4 2 A.l l 2J歹-B.0C.D.3 33 3 7.已知二面角 P-AB-C的大小为兀，球 0 与直线AB 相切，且平面PAB，平面ABC截球 0的两个4截面圆的半径分别为1,.J2，则球0半径的最大可能值为A.B.2.J歹C.3D.顶8.已知函数 f(x)=x2+ax+b,若不等式IJ(x)I:;2在 XE 1,5 上恒成立，则满足要求的有序数对(a,b)有A.0 个B.1个C.2 个数学试题第1页（共4页）D.无数个二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
3、9.已知(l-2x)5=a。+a1x+a2x乓+asxs,则下列说法正确的是A.a。=1 C.a1+a2+a3+a4+a5=-1 B.a3=-80 D.a。+a2+a4=12110.设0为坐标原点，直线x+my-m-2=0过圆M:x2+y2-8x+6y=O的圆心且交圆M千P,Q两点，则A.IPQl=5 浙考神墙750C.i:,.OPQ 的面积为5$1 B.m=.!.D.OM.lPQ11.函数f(x)=sinOJx(OJ 0)在区间号号上为单调函数，且图象关千直线x=f兀对称，则3 A.将函数f(x)的图象向右平移2兀个单位长度，所得图象关于y轴对称3 B.函数f(x)在兀，加上单调递减C 若函
4、数f(x)在区间（a牛）上没有最小值，则实数a的取值范围是（；兀占扣）D 若函数f(x)在区间U牛）上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是手兀，o)12.已知函数/:R-R，对任意满足x+y+z=O的实数x,y,z,均有J(x3)广(y)广(z)=3.xyz,则A.f(O)=OC.f(x)是奇函数B.f(2023)=2024 D.f(x)是周期函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(l,3)，则sin(a兀）14 14.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2,体积为兀，则该圆台的侧面积为3 15.第33届奥运会将
5、千2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行某田径运动员准备参加100米、200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员 100米比赛未能站上领奖台的概率为l_,200米比赛未能站上领奖台的概率为.l.，两项2.10 比赛都未能站上领奖台的概率为上若该运动员在100米比赛中站上领奖台，10 则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是PARIS2024 Q免16.已知抛物线r:y2=2x与直线l:y=-x+4围成的封闭区域中有矩形ABCD,点A,B在抛物线上，点C,D 在直线l上，则矩形对角线BD长度的最大值是数学试题第2页（共4页）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过
6、程或演算步骤。17.(10 分）在!:.ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知三1+2cosA.b(1)证明：A=2B;(2)若sin B=立,C=13,求!:.ABC的面积18.(12分）已知数列伈满足a1=1,且对任意正整数m,n都有am+n=a.+am+2mn.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列(-1)飞的前n项和Sn.19.(12分）如图，已知正方体ABCD-A龙GD1 的棱长为4,点E满足瓦扫3瓦4点F是ee1 的中点，点G满足灰=G瓦5(1)求证：B、E、G、F四点共面；(2)求平面EFG与平面A1EF夹角的余弦值A1 C1 F l DL_ 互，B 20.(12
7、分）已知函数f(x)=ae2x+(a-4)ex-2x(e为自然对数的底数，e=2.71828)(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a1时，f(x)7lna-a-4.数学试题第3页（共 4 页）21.(12 分）某中学在运动会期间，随机抽取了 200 名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：速度性别合计快慢男生65 女生55 合计llO 200(1)根据以上数据，能否有 99的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？(2)现有 n(nEN+)根绳子，共有 2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为
8、结束(i)当 n=3,记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；(ii)求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为:.22n一1 n!(n-1)!(2n)!附：K呈n(ad-bc2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.P(K2 江）0.100 0.050 0.025 k 2.706 3.841 5.024 0.010 6.635 22.(12 分）已知双曲线 C兰f-=l(aO,bO)的焦距为 6 其中一条渐近线/I 的斜率为i:，过点a b2 2(t,O)(ta)的直线与双曲线 C 的右支交于 P,Q 两点，M 为线段 PQ 上与端点不重合的任意一点，过
9、点M且与/I 平行的直线分别交另 一条渐近线/2 和C千点T,N.(1)求C 的方程；IMPIIMQI(2)求的取值范围 1TIIMNI 数学试题第4页（共 4 页）高三数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。I.A5.D 2.B6.C3.84.C7.D 8.B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.13.ABO 3顶10 10.14.BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。3./Sn 11.15.
10、ABO 12.AC 3-516.4四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)因为丘 1+2cosA,由正弦定理得sinC-2sinBcosA=sinB,b 即sin(A+B)-2sin BcosA=sin B,即sinAcosB-cosAsinB=sin B,故 sin(A-B)=sin B,因为A,BeO，亢），所以 A-Be(亢卫），所以 A-B=B,因此 A=2B.7(2)因为cosA=cos2B=1-2sin2 B=，故sinA=-,24 25.25.5分由.=I+2cosA 得丘竺，因为c=l3,故 b尘b b 25 3 所以 Sl
11、l 25 24 心ABC=bcsin A=1 3 -=52 2 2 3 25 .10分18.(I)由对任意整数m,n 均有 am+n=an+am+2mn,取m=I,得 an+I=an+I+2n,当n2 时，当n=I 时，an=a1+(a2-a1)+(a,-ai)+（a,-a,一1)=1+3+5+2n-l=n(l+2n-l).2=n,a,=I,符合上式，所以 a,=n2.6分(2)当n 为偶数时，旦(3+2n-1)s.=(-12+2于(-32+42)+-(n-1)2+n2 =3+7+1 1 +(2n-1)=.ln(n+I)2=2:当 n 为奇数时，s.=S一1+(-1)a.=S一I-Qn=(n-
12、l)n _ 2 _-n2-n-n=:2 2 综上所述S,勹;n为偶数 12分2,n为奇数数学答案第1页（共4页）19.CI)法I:如图，以D为原点，DA,DC,DDI 方向分别为x,y,轴正向，建立空间直角坐标系D邓：，小l，L_ E/.-B则 8(4,4,0),(3,0,0),因为祚（-4,0,2),EG=3(-3,0,一，2）所以B、E、G、(2)由(1)知，F(0,4,2),屁（I,-4，0),3 G(O,O,)，2 A1(4,0,4),一3 一所以EG=BF,F 四点共面 5 分存（1,0,-4),百（3,4,2),设平面EFG的法向址为面（x,y，二），叶尸1 竺 0，mBF=O 即
13、一X-4y=0,-4x+2=0解得x=-4y，取；（4，一1,8),=2x 同理可得平面AIEF的法向邱；（8,7,-2)，设平面EFG与平面AIEF夹角为0,I孟补9则 cos0=-=-=-范|，n|n1 9 3泪39.12 分(I)法2:如图，取DD1 中点H,分别连接AH,FH,因为F为CC1 中点，所以FHIIAB，且FH=AB,所以四边形 ABFH为平行四边形，所以AHi/BF,所以旦且2Q，所以EGII AHEA GH 立DDI由灰盐宽知.gg.=3 5 GH上 DD I 由丽3百知旦互3EA 所以GI/BF,所以B、E、G、A,F四点共面.5 分C,F-8 数学答案第2页（共4页
14、）20.(I)/(x)=2ae2x+(a-4)ex-2=(ae-2)2ex+I),当aO 时，f(x)在(-00,+oo)上单调递减；当aO 时，f(x)在(-00,l叶）上单调递减，在(ln:王力）上单调递增 5 分(2)由（I)知，/(x)mm=/(In)=2-21n2+21n a,OJ a 4 4 只衙证 2-2ln2+21n a 71na-a-4,即证6+a-.!.-Slna-21n 2 0,a a 设g(a)=6+a-51na-21n 2,a I,则 g(a)=I+丁-，4 5 _(a-I)(a-4)a a-a a 则 g(a)在(1,4)上递减，在(4,+oo)上递增，g(a)g(
15、4)=9-12ln2=3(3-lnl6),又e3 2.?3 16,故g(a)O,证毕 12 分21.(I)K 2=200 x3575-15752 200 x20 x20 800 ：8.08 6.635.xi!Ox IOOx 100 90 x 110 99 故有 99%的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关 3 分(2)(j)由题知，随机变批 X 的所有可能取值为 1,2,3,C C;8 C 2 P(X=l)=,P(X=2)=立，P(X=3)=c:.c;.c;15,-c:-c;.c;15,-c:.c;.c;15AJ AJ A 所以 X 的分布列为IX2 3 p8 152-5I-158 6 1
16、 所以 E(X)=lx+2x+3x 尘.7 分15 15 15 15(ii)不妨令绳头编号为 l,2,3,4,.,2n,可以与绳头1 打结形成一个圆的绳头除了 1,2 外有 2n-2 种可能，假设绳头1 与绳头 3 打结，那么相当千对剩下 n-1根绳子进行打结令 n(ne N.）根绳子打结后可成圆的种数为 a，那么经过一次打结后，剩下 n-1 根绳子打结后可成圆的种数为 On-I由此可得，an=(2n-2)an一I,n2,所以旦L=2n-2皇 二（2n-4),.,a2=2,an一1an一2a1 所以=(2n-2)x(2n-4)x.x2=2n一I(n-1)!,显然a1=I,故an=2”一I(n-
17、1)!.另 一方面，对 2n 个绳头进行任意 2 个绳头打结，总共有N=笠C沁C比C:2n(2n-l)（2n-2)2 1 皿n!2n n!2n-n!an 所以P=-2n-1-(n-l)!22n-l n!(n-l)!N(2n)!(2n)!.12 分2”.n!数学答案第3页（共4页）b 22.(I)由 C 的焦距为 6,知 2c=6,即 c=3:又渐近线方程为y土X,则，b_./5 a a 2 故石亡了至，即 4(9-a 2)=5a 2,a 2=4,从而 b呈c 2-a 2=5,a 2 2 2 因此，双曲线 C 的方程为土一一L=t.3 分4 5(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y 2),M(
18、x。,y。)直线 I 的方程为x=my+t,则x。I=myo.2.2 将直线 l 的方程代入土_=I得(5m2-4)x2+8tx-4(12+S11i2)=0 有两正根x,斗，则4 5 A=6 4t2+l6:1,2?1:*)：卢 5m 2)0且x勹二2+=x24:00,又t 2,解上述不等式组，得 0匀n12 土5 呵MQ|()十士）Ix,-xoll.x.i-xol=(1+m XI X。|斗-X。I=(）三）I砃 （x1+x丛X。2 1m=(l+n12)|4（五）25m2(4矿）1（l+I1/2)|4y。2-5x。2+20 Im2(4-5m2)4-5m2 因为 MN 的方程为y-y。=J(x-x。)，则MN与y=J 2-飞x 的交点横坐标为x产，岛。2y。2J|OT|言可叫邸心切。12.2 5矿 4对 20将 MN 的方程代入xy=1得 x=x。4 5,.O 2$($x。-2y。)故IMN|R荨IX-X。|叶5x。2-4对 20|叩岛。2y。|即为点 N 的横坐标，所以，IMP|MQ|坠皿二判生一一）寸鸟+oo,|OT|IMN|94-5m29 4-5m2 9)即|MP|MQ|OT|IMN1的取值范围为浮叫.12 分数学答案第4页（共4 页）
