1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第 4 讲 垂直关系 概要课堂小结结束放映返回目录第2页 判断正误(在括号内打“”或“”)(1)直线l与平面内无数条直线都垂直，则l.()(2)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点突破证明(1)在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，ACCD，且PAACA，CD平面PAC而AE平面PAC，CDAE.利用判定定理证明考点一 直线与
2、平面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.结束放映返回目录第4页 考点突破(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA E是PC的中点，AEPC 由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD 而PD平面PCD，AEPD PA底面ABCD，PAAB 又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD 又ABAEA，PD平面ABE.利用判定定理证明考点一 直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，AB
3、AD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.结束放映返回目录第5页 考点突破规律方法(1)证明直线和平面垂直的常用方法：线面垂直的定义；判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想考点一 直线与平面垂直的判定与性质结束放映返回目录第6页 考点突破所以AEBC，AEABBC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点 又F为PC的中点，因此在PAC中，可得APOF.又
4、OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.【训练 1】(2014山东卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中，AP平面 PCD，ADBC，ABBC12AD，E，F 分别为线段 AD，PC 的中点求证：(1)AP平面 BEF；(2)BE平面 PAC考点一 直线与平面垂直的判定与性质证明(1)设ACBEO，连接OF，EC由于 E 为 AD 的中点，ABBC12AD，ADBC，O结束放映返回目录第7页 考点突破(2)由题意知EDBC，EDBC，所以四边形BCDE为平行四边形，因此BECD 又AP平面PCD，所以APCD，因此APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC 又APACA，AP，
5、AC平面PAC，所以BE平面PAC 考点一 直线与平面垂直的判定与性质O【训练 1】(2014山东卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中，AP平面 PCD，ADBC，ABBC12AD，E，F 分别为线段 AD，PC 的中点求证：(1)AP平面 BEF；(2)BE平面 PAC结束放映返回目录第8页 考点突破考点二 平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，ABAC，ABPA，AB CD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点求证：(1)CE平面PAD；(2)平面EFG平面EMN.证明(1)法一 取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点
6、，所以 EHAB，且 EH12AB又 ABCD，CD12AB，所以EHCD，且EHCD 因此四边形DCEH是平行四边形 所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此，CE平面PAD H利用判定定理或面面平行证明结束放映返回目录第9页 考点突破考点二 平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，ABAC，ABPA，AB CD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点求证：(1)CE平面PAD；(2)平面EFG平面EMN.法二 连接CF.因为 F为 AB的中点，所以 AF12AB又 CD12AB，所以 AFCD，又AFCD，所以四边形AFC
7、D为平行四边形 因此CFAD 又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF平面PAD 因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA 又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD因为CFEFF，故平面CEF平面PAD 又CE平面CEF，所以CE平面PAD 利用判定定理或面面平行证明结束放映返回目录第10页 考点突破考点二 平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，ABAC，ABPA，AB CD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点求证：(1)CE平面PAD；(2)平面EFG平面EMN.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF
8、PA 又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD，又ABCD，所以MNAB 因此MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.利用判定定理证明结束放映返回目录第11页 考点突破规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 考点二 平面与平面垂直的判定与性质结束放映返回目录第12页 考点突破证明(1)因为D，E分别为棱P
9、C，AC的中点，所以DEPA 又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以 DEPA，EFBC，且 DE12PA3，EF12BC4.考点二 平面与平面垂直的判定与性质【训练2】(2014江苏卷)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC 结束放映返回目录第13页 考点突破考点二 平面与平面垂直的判定与性质【训练2】(2014江苏卷)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，A
10、C，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC 又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC 因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC 又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC接上一页结束放映返回目录第14页 考点突破(1)解 在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角 在RtPAB中，ABPA，故APB45.
11、所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.考点三 线面角、二面角的求法【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角A-PD-C的正弦值 结束放映返回目录第15页 考点突破(2)证明 在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA由条件CDAC，PAACA，CD平面PAC 又AE平面PAC，AECD 由PAABBC，ABC60，可得ACPA E是PC的中点，AEPC 又PCCDC，综上得AE平面PCD 考点三 线面角、二面
12、角的求法【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值 结束放映返回目录第16页 考点突破(3)解 过点E作EMPD，垂足为M，连接AM，如图所示 由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AMPD 因此AME是二面角APDC的平面角由已知，可得CAD30.设ACa，可得 考点三 线面角、二面角的求法【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中
13、点(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值 MPAa，AD2 33 a，PD 213 a，AE 22 a结束放映返回目录第17页 考点突破在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，考点三 线面角、二面角的求法【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值 M则 AMPAADPD a2 33 a213 a2 77 a在 RtAEM 中，sinAMEAEAM 144.所以二面
14、角 APDC 的正弦值为 144.结束放映返回目录第18页 考点突破规律方法 求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解(2)二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量平面角的作法常见的有定义法；垂面法注意利用等腰、等边三角形的性质 考点三 线面角、二面角的求法结束放映返回目录第19页 考点突破(1)证明 如图所示，连接AC，AC交BD于O，连接EO.底面ABCD是正方形，点O是AC的中点 在PAC中，EO是中位线，PAEO.而EO平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB【训练3】(2014天津一考)如
15、图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDCE是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)证明PA平面EDB；(2)证明PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小 考点三 线面角、二面角的求法O结束放映返回目录第20页 考点突破(2)证明 PD底面ABCD，且DC底面ABCD，PDDCPDDC，可知PDC是等腰直角三角形 而DE是斜边PC的中线，DEPC 同样，由PD底面ABCD，得PDBC 底面ABCD是正方形，有DCBC BC平面PDC 而DE平面PDC，BCDE.由和推得DE平面PBC 而PB平面PBC，DEPB 又EFPB且DEEFE，PB平面E
16、FD 考点三 线面角、二面角的求法O【训练3】(2014天津一考)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDCE是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)证明PA平面EDB；(2)证明PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小 结束放映返回目录第21页 考点突破(3)解 由(2)知，PBDF.故EFD是二面角CPBD的平面角 由(2)知DEEF，PDDB 设正方形ABCD的边长为a，考点三 线面角、二面角的求法O则 PDDCa，BD 2a，PB PD2BD2 3a，PC PD2DC2 2a，DE12PC 22 a，在 RtPDB 中，DFPDBDPB
17、a 2A3a 63 a在 RtEFD 中，sinEFDDEDF 32，EFD60.二面角CPBD的大小为60.【训练3】(2014天津一考)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDCE是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)证明PA平面EDB；(2)证明PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小 结束放映返回目录第22页 1证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90.(2)平面几何中证明线线垂直的方法(3)线面垂直的性质：a，bab.(4)线面垂直的性质：a，bab.思想方法课堂小结2空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直
18、三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转化向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决 结束放映返回目录第23页 1在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意口诀：线不在多，重在相交 易错防范课堂小结2面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理，这个定理的主要作用是作一个平面的垂线，在一些垂直关系的证明中，很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线注意定理使用的条件，在推理论证时要把定理所需要的条件列举完整，同时要注意推理论证的层次性，确定先证明什么、后证明什么 结束放映返回目录第24页（见教辅）
