1、1.2 空间向量基本定理学习目标 素 养 目 标 学 科 素 养 1.理解空间向量的正交分解，空间向量的基本定理；2.能用空间一个基底表示空间的任意向量.（重点）1.数学抽象;2.数学运算。自主学习 一空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p我们把a，b，c叫做空间的一个，a，b，c 都叫做基向量xaybzc不共面 基底 自主学习 二空间向量的正交分解1.单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量，且长度都是，那么这个基底叫做单位正交基底，常用i，j，k表示2.向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量 a，
2、均可以分解为三个向量 xi，yj，zk 使得 axiyjzk像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解两两垂直 1 自主学习 思考1：基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示吗？不同基底下，同一个向量的表达式都相同吗？基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示，不一定相同，不同基底下，同一个向量的表达式也有可能不同.思考2：基底中能否有零向量？不能，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面.自主学习 解读：1.一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.2.基底的选择一般有两个条件：（1）基底必须是
3、不共面的非零向量；（2）在进行基底选择时要尽量选择已知夹角和长度的向量，这样会让后续计算比较方便.小试牛刀 1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示()(2)若a，b，c为空间的一个基底，则 a，b，c 全不是零向量()(3)如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有 a 与 b 共线()(4)若a，b，c为空间一个基底，则a，b，2c也可构成空间一个基底()(5)若三个非零向量 a，b，c 不能构成空间的一个基底，则 a，b，c 共面()小试牛刀 2.设 p：a，b，c 是三个非零向量；q：a，b，c为空间的一个基底，则 p
4、 是 q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B 解析：当三个非零向量 a，b，c 共面时不能作为基底，正推不成立；反过来，若a，b，c是一个基底，必有 a，b，c 都是非零向量，逆推成立，故选项 B 符合题意题型一基底的判断经典例题 例 1 已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且OA e12e2e3，OB 3e1e22e3，OC e1e2e3，试判断OA，OB，OC 能否作为空间的一个基底解 假设OA，OB，OC 共面则存在实，使得OA OB OC，e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3)(3)e1()e2(2)e3，e1，e2，e3 不共面，31
5、，2，21此方程组无解，OA，OB，OC 不共面，OA，OB，OC 可以作为空间的一个基底经典例题 总结判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底假设 abc，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底题型一基底的判断跟踪训练1 经典例题 若向量MA，MB，MC 的起点 M 和终点 A，B，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB，MC 成为空间一个基底的关系是(O 为空间中不同于 M，A，B，C 的一点)
6、()AOM13 OA 13 OB 13 OCBMAMB MCCOMOA OB OCDMA2MB MCC 解析：对于AB 与11C D，1AD 与1C B中的两向量，长度相等，方向相反，均为互为相反向量；对于1AC 与1BD 长度相等，方向不相反；对于1A D 与1B C长度相等，方向相同故互为相反向量的有 2 对题型一基底的判断经典例题 题型二 用基底表示向量例 2在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，设ABa，AD b，AA1-c，E，F 分别是 AD1，BD 的中点(1)用向量 a，b，c 表示D1B-，EF；(2)若D1F-xaybzc，求实数 x，y，z 的值解(1)如图，连接
7、AC，D1B-D1D-DB AA1-ABAD abc，EFEAAF12D1A-12AC12(AA1-AD)12(ABAD)12(ac)(2)D1F-12(D1D-D1B-)12(AA1-D1B-)12(cabc)12a12bc，x12，y12，z1.经典例题 总结用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求 题型二 用基底表示向量跟踪训练2 经典例题 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是ABC，OBC
8、的重心，设OA a，OB b，OC c，D 为 BC 的中点试用向量 a，b，c 表示向量OG 和GH.解 因为OG OA AG，而AG 23AD，AD OD OA，又 D 为 BC 的中点，所以OD 12(OB OC)，所以OG OA 23AD OA 23(OD OA)OA 2312(OB OC)23OA13(OA OB OC)13(abc)又因为GH OH OG，OH 23OD 2312(OB OC)13(bc)，所以GH 13(bc)13(abc)13a.所以OG 13(abc)，GH 13a.题型二 用基底表示向量经典例题 题型三 空间向量基本定理的应用例 3 如图，在正方体 ABCD
9、A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，D1B1 的中点，求证：EFAB1证明：设ABa，AA1 b，AD c，则EFEB1 B1F 12(BB1 B1D1)12(AA1 BD)12(AA1 AD AB)12(abc)，AB1 ABBB1ABAA1 ab所以EFAB1 12(abc)(ab)12(|b|2|a|2)0所以EFAB1，即 EFAB1经典例题 总结首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为 0(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)题
10、型三 空间向量基本定理的应用跟踪训练3 经典例题 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60(1)求 AC1 的长；(2)求 BD1 与 AC 所成角的余弦值题型三 向量的共线及判定经典例题 解：(1)设ABa，AD b，AA1 c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，所以 abbcca12|AC1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112121212 6，所以|AC1|6，即 AC1 的长为 6(2)BD1 bca，ACab，所以|BD1|2，|AC|3，BD1 AC(bca)(ab)b2a2acbc1所以
11、 cosBD1，AC BD1 AC|BD1|AC|66 所以 AC 与 BD1 所成角的余弦值为 66 题型三 向量的共线及判定当堂达标 1.以下四个命题中正确的是()A基底a，b，c中可以有零向量B空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底CABC 为直角三角形的充要条件是ABAC0D空间向量的基底只能有一组B 解析：使用排除法因为零向量与任意两个非零向量都共面，故 A 不正确；ABC 为直角三角形并不一定是ABAC 0，可能是BC BA0，也可能是CACB0，故 C 不正确；空间基底可以有无数多组，故 D 不正确当堂达标 2.(多选)已知点 O，A，B，C 为空间不共面的四点，且向
12、量 aOA OB OC，向量 bOA OB OC，则与 a，b 能构成空间基底的向量是()A.OAB.OBC.OCD.OA 或OBABD 解析：OC 12a12b 且 a，b 不共线，a，b，OC 共面，OC 与 a，b 不能构成一组空间基底当堂达标 3.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，用AC，1AB，1AD 作为基向量，则1AC 12(1AD 1AB AC)解析：21AC 21AA 2AD 2AB(1AA AD)(1AA AB)(AD AB)1AD 1AB AC，所以1AC 12(1AD 1AB AC).当堂达标 4已知 ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de1
13、2e23e3，若 dabc，则，的值分别为_52，1，12解析：d(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3e12e23e3，1，2，3，52，1，12.当堂达标 5.在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 DD1，BD 的中点，点 G 在棱 CD 上，且 CG13CD(1)证明：EFB1C；(2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值(1)证明：设DA i，DC j，DD1 k，则i，j，k构成空间的一个正交基底所以EFED DF 12k12(DA AB)12i12j12k，B1C B1B BCik，所以EFB1C 12i12j12k(ik)12|i|212|k|20，所以 EFB1C当堂达标(2)解：EF12i12j12k，C1G C1C CG k13j，|EF|212i12j12k 214|i|214|j|214|k|23，|EF|3，|C1G|2k13j 2|k|219|j|2449409，|C1G|2 103，cosEF，C1G EFC1G|EF|C1G|12i12j12k k13j32 103432 303 3015 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 3015 对应课后练习课后作业
