1、5 012CCCC31.2.nnnnnn若，则 01122CCCC11CCCC2325.nnnnnnnnnnxxxxxn由，得时，有，故解析：14 752().2.xxx在的展开式中，项的系数是 77 2152C()C2.7251.C214.rrrrrTxxxrrx 通项由已知得，则故 项的系数为解析：84743.(2011)2()()x xxx的展开式中，的系数是 用数字东卷作答广47377117 2422()2()C22C72322C84.rrrrrxxxxxTxxxxrrx 所求 的系数即展开式中 项的系数，展开式的通项为：，由得，所以 的系为析：数解7081(.()4).xx的展开式中
2、，常数项为 用数字作答88 2141C()C14C170.rrrrrTxxxr 设为常数项，则，所以常数项为解析：1234531aaaaa 524325432102.(.)5xa xa xa xa xa xa若，则 用数字作答554321050123450123450111.0232.31.xaaaaaaxaaaaaaaaaaaaa 解当时，当时，所以析：二项展开式的通项的应用 106451(2)112(1)xyx yxx求的展开式中项的系数；求的展开式中【例】的常数项 101101010644445101(1)C()(1)C(2)(010)1064.(1)C(2)4840.rrrrrrrrr
3、rTxyxyrrrx yTC 令 ，得 所以项的系数为【解析】55515552515112(1)(1)1()(1)(05)1 =(1)C C()(0)(1)C C(0)25025.rrrrkrkrrkrkrkrkrrxxxxTCxrxxkrxTxkrrkrk 因为，所以，即，得【解析】由456456133455.13303420551.3020 151.krkrkrkrTkrTkrTTTT 令，得；令，得；令，得故当，时，=-；当，时，=-；当，时，=-所以常数项为=-二项展开式的通项是求展开式中特殊项的重要工具，通常都是先利用通项由题意列方程，求出Tr+1中的r，再求所需的某项运算中，要特别
4、注意r的取值范围及n，r的大小关系对于有三个项的二项式问题，应先把其中的两项并为一项，在应用二项式定理时，在展开式中，并为一项的再使用二项式定理，同时注意r、k的大小关系【变式练习1】已知的展开式中没有常数项，nN*，且2n8，求 n 的值.231(1)()nxxxx【解析】先求的展开式的通项：(0rn).于是原式的展开式的项为：,.若展开式中有常数项，则 n=4r,n=4r-1,n=4r-2.故当展开式中没有常数项时，则只有n=4r-3.又 2n8，所以 r=2,则 n=5.31()nxx341()rn rrrnrrnnTC xxC x 4rnrnC x41rnrnC x42rnrnC x二
5、项式系数与二项展开式的系数的比 41()21232nxxxx若的展开式中前三项系数成等差数列，求：展开式中 的一次项；展开式中所有含 的有理项；展开式中系数【例】最大的项【解析】二项展开式的通项为.由条件知，得 n=8.于是.(1)令，得 r=4，所以展开式中 x 的一次项是；234141()()22nrrnrrrrnnTCxrCxx 02111242nnnCCC16 3412xrrrsTCx 16314r4453528sTCxx【解析】(2)因为N(0r8,rN)，得r=0,4,8，对应的有理项为T1=x4,T5=,T9=.(3)设第 r 项的系数最大，则，即,1634r358x21256x
6、112rrrrTTTT11112222rrrrssrrrrssCCCC 所以，解得 2r3.于是系数最大的项为第3项和第4项.8!18!2!(8)!2(1)!(9)!28!18!1!(8)!2(1)!(7)!22rrrrrrrrrrrr5237Tx7447Tx 二项式系数与二项展开式项的系数是不同的两个概念，要明确它们的区别求展开式项的系数最大的项，关键是列出不等式组，正确应用组合数的计算方法 【变式练习2】已知(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101.求：(1)展开式中各项系数的和；(2)展开式中含的项；(3)展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.32x22()nxx【
7、解析】展开式的通项为.依题意，得 n=8.(1)令 x=1，则各项系数和为(1-2)8=1.(2)通项.令8-5r=3，得 r=1.所以展开式中含的项为.521(1)2nrrrrrnTCx 444222(1)21(1)2nnCC521(1)2nrrrrrnTCx 32x32216Tx 11811182811116611117831222212256.2221892?8rrrrrrrrrrrrrssrrrrssrrrTCTCTCrCCrCCTCxxn设展开式中的第 项、第项、第项的系数的绝对值分别为、若第项的系数的绝对值最大，则，得 于是系数最大的项是【解析 由】，可知第446658 21120
8、?TCxx五项的二项式系数最大，且二项式系数与二项展开式的系数和【例3】在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项、偶数项的二项式系数和；(4)奇数项、偶数项系数的和 0110101010101010011010101090199101010121024.21(2-3)(-1)1.325122512二项式系数的和为令，得各项系数的和为奇数项的二项式系数的和为，偶数项的二项式系数的和为项的二解】项式【析CCCMxyCCCCCC 1010910011001101001101002101002104(23).11115.15,2152设令，得；令，得两式
9、相加可得两式相加可得=，xya xa x ya yxyaaaxyaaaaaaaaa(ab)n展开式各二项式系数和为2n，只与n有关，而展开式中各项的系数和还与a，b中的系数有关，一般用赋值法求解；而展开式奇数项的二项式系数和与偶数项二项式系数和相等，而系数和一般不具有类似性质，要用比较的方法学习 5230123454502413512345(1)1()(3)2.xaa xa xa xa xa xaaaaaaaaaaa已知，求下列【各式的值：；变式练习】0123450123450241350123451234512345110132.161620131.31.xaaaaaaxaaaaaaaaaa
10、aaxaaaaaaaaaaaaaaaa 令，得；令，得由联列方程组解得，=-，令，得，所以-从而=-【解析】二项式定理的应用12321*=C+C 6+CC)466(nnnnnnnnTnT.N【例已，求】知 12321*01232n16=6(C+C 6+C 6C 6)()6+CC6(C+C 6+C 6C 6)(1+6)16=71(71)6nnnnnnnnnnnnnnnnnnnTnTTTN【因为，所以，即】，所以解析抓住二项展开式的特点，对已知问题进行整体转化对于有规律的组合式子的研究，可以从整体结构出发，向二项式定理转化，这样可以简化解决问题的过程 54320121(1)5(1)10(1)10(
11、1)5(1)2 C+3C+5C+(2)C.41nnnnnxxxxxn化简：；【变式练习】5051455233245555554325012111(1)1=C(1)+C(1)+C(1)+C(1)+C(1)C(1)+5(1)+10(1)+10(1)+5(1)1.2?”=C+3C+5C+(2+1)C(21)C+(21)C+3C+CnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxSnSnn因为，所以观察式子的特点，可利用 倒序求和 法设，得【解析】00122(1)C+2(1)C+2(1)C(1)2.nnnnnnSnnnSng，所以，则1.在二项式的展开式中，含x4的项的系数是.251()xx【解析】通项.
12、由10-3r=4,得 r=2,则含 x4 的项的系数是.2 510 31551()()(1)rrrrrrrTCxC xx 225(1)10C 1032*(2)2(3N)3 2_2_._.若，且，则 nnnxxaxbxcxnna bn33223n32n2C2C2(C2)(C 2)3 211.由二项式展开式得，所【解析以】，解得nnnnnnabn111()364.nxxn若展开式的二项式系数之和为，则；展开式的常数项为 6166 263612646C()C(0,16)6203C20.nkkkkkknTxxxkkk依题意，令，故展开式的常数项为解析：620 887871012802468(31)12
13、4.xa xa xa xaaaaaaaaa设，求下列各式的值：；080128812802468135878802468880246810112.21255.21()()4.2()42.1(42)2xaxaaaaaaaxaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 令，得；令，得所以令，得由【，得所以解析】5.已知的展开式中偶数项的二项式系数之和比(a+b)2n 的展开式中奇数项的二项式系数之和小120，求第一个展开式的第三项.31()nxx【解析】第一个展开式中偶数项的二项式系数之和为 2n-1，第二个展开式中奇数项的二项式系数之和为22n-1.依题意有22n-1=2n-1+120，所以 2n=16
14、,则n=4.故第一个展开式的第三项.2223334()()6TCxxx01-12-221101201-1()=C+Cb+C+C+CCCCC.(1)=CCC10“”在二项式定理“”中，二项式系数为，二项式系数的和是通过当时求出的当时，得到常数项求二项展开式的所有项系数的和，可采用 特殊值取代法，通常是nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnabaaababbxxxxx636336111(1+2)C20C2160令式中的变量等于 而得到展开式中第项的二项式系数与第项的系数不是同一个概念，如的展开式中第四项的二项式系数为，而第四项的系数为，二者既有区别又有联系rrx1(0)1().二项展开式的通项=C是展开式中的第项，而不是第 项用通项解题时，一般都是首先将通项转化为关于、的方程 组，求出、，然后代入公式求解求二项展开式中的特殊项，如系数最大项、常数项等，通常都是先利用通项公式，由题意列方程，求出，再求所需要的项，有时需要先求出计算时，要注意、的取值范围以及它们之间的大小关系rn rrrnTabrnrrnrnrrnnr
