1、第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角(易混点)1.通过作图教学引导学生自主得出平面向量基本定理，培养学生的直观想象素养.2.通过向量夹角和基底的学习，培养学生的直观想象和逻辑推理素养.自 主 预 习 探 新 知 1平面向量基本定理条件 e1，e2是同一平面内的两个 结论对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a基底_的向量e1，e2
2、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 不共线1e12e2不共线向量思考：0 能与另外一个向量 a 构成基底吗？提示 不能，0 不能作为基向量2.两向量夹角的概念已知两个非零向量a和b，作OA a，OB b，则 ，叫做向量a与b的夹角AOB(1)范围：向量a与b的夹角的范围是.(2)当0时，a与b(3)当180时，a与b3垂直如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作.0180ab同向反向1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e1 B2e1e2，e112e2C2e23e1,6e14e2De1e2，e1e2D A、B、C中两个向量都满足ab
3、，故选D.2给出下列三种说法：一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量其中，说法正确的为()A BC DB 根据基底的概念，可知正确3若ABC是等边三角形，则AB与BC的夹角的大小为_120 由向量夹角的定义知AB 与BC 的夹角与B互补，大小为120.4如图所示，向量OA 可用向量e1，e2表示为_4e13e2 由图可知，OA 4e13e2.合 作 探 究 释 疑 难 用基底表示向量【例1】(1)D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB上的中点，且BCa，CAb，给出下列结论：A
4、D 12ab；BEa12b；CF12a12b；EF12a.其中正确结论的序号为_(2)如图所示，ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若ABa，AD b，试用a，b表示向量DE，BF.思路点拨：用基底表示平面向量，要充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则(1)如图，AD AC CD b12CB b12a，正确；BEBCCEa12b，正确；ABACCBba，CFCA12ABb12(ba)12b12a，正确；EF12CB12a，不正确(2)DE DA ABBE AD AB12BC AD AB12AD a12b.BFBAAD DF ABAD 12ABb12a.1
5、若本例(2)中条件不变，试用 a，b 表示AG.解 由平面几何的知识可知BG 23BF，故AG ABBG AB23BF a23b12a a23b13a23a23b.2若本例(2)中的基向量“AB，AD”换为“CE，CF”，即若CEa，CFb，试用 a，b 表示向量DE，BF.解 DE DC CE2FCCE2CFCE2ba.BFBCCF2ECCF2CECF2ab.用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：向量加法的三角形法则和平行四边形法则；向量减法的几何意义；数乘向量的几何意义(2)模型：向量的夹角【例2】(1)已知向量a，b，c满足|a|1，|b|2，cab，ca，则a，b的夹角等于
6、_(2)若a0，b0，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角思路点拨：可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决(1)120 作BCa，CAb，则cabBA(如图所示)，则a，b夹角为180C.|a|1，|b|2，ca，C60，a，b的夹角为120.(2)解 由向量运算的几何意义知ab，ab是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线 如图，|a|b|ab|，BOA60.又OC ab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA，a与ab的夹角是30.两向量夹角的实质与求解方法：1两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.2求解方法：利用平移的方
7、法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误.跟进训练如图，已知ABC是等边三角形(1)求向量AB与向量BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角解(1)ABC为等边三角形，ABC60.如图，延长AB至点D，使ABBD，则ABBD，DBC为向量AB与BC的夹角 DBC120，向量AB与BC的夹角为120.(2)E为BC的中点，AEBC，AE与EC的夹角为90.平面向量基本定理的唯一性及其应用 探究问题若存在实数1，2，1，2及不共线的向量e1，e2，使向量a1e12e2，a1e1
8、2e2，则1，2，1，2有怎样的大小关系？提示：由题意1e12e21e12e2，即(11)e1(22)e2，由于e1，e2不共线，故11，22.【例3】如图所示，在OAB中，OA a，OB b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点若OM与BN相交于点P，求OP.思路点拨：可利用OP tOM 及OP ON NP ON sNB 两种形式来表示OP，并都转化为以a，b为基底的表达式根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而得OP.解 OM OA AMOA 23AB OA 23(OB OA)13a23b.因为OP 与OM 共线，故可设OP tOM t3a2t3b.又NP
9、 与NB 共线，可设NP sNB，OP ON sNB 34OA s(OBON)34(1s)asb，所以341st3，s23t，解得 t 910，s35，所以OP 310a35b.1将本例中“点M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“点M是AB上靠近A的一个三等分点”，“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“点N为OA的中点”，求BPPN的值解 BNON OB 12ab，OM OA AM OA 13ABOA 13(OB OA)23OA 13OB 23a13b.因为O，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数，使BPBN2ab，OP OM 23 a3b，所以OB OP PBOP BP23 2 a3
10、b，又OB b，所以23 20，31，解得 45，35，所以BP45BN，即BPPN41.2将本例中点M，N的位置改为“OM 12 MB，N为OA的中点”，其他条件不变，试用a，b表示OP.解 AM OM OA 13OB OA 13ba，BNON OB 12OA OB 12ab.因为A，P，M三点共线，所以存在实数使得 AP AM 3 ba，所以OP OA AP(1)a3b.因为B，P，N三点共线，所以存在实数使得BPBN2ab，所以OP OB BP2a(1)b.即12，31，解得35，45，所以OP 25a15b.1任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共
11、线向量e1，e2 条件二a1e11e2且a2e12e2 结论12，122.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2.在具体求1，2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理(2)利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解课 堂 小 结 提 素 养 1对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底2准确理
12、解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决1下列四种说法正确的个数为()平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的；e1，e2 是平面 内两个不共线向量，若存在实数，使得 e1e20，则 0.()A1 B2 C3 D4C 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底
13、中的向量，故错，根据平面向量基本定理可知正确2已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.AB，DC B.AD，BCC.BC，CBD.AB，DAD 由于AB，DA 不共线，所以是一组基底3若a与b的夹角为45，那么2a与3b的夹角是_135 2a与a方向相同，3b与b方向相反，所以2a与3b的夹角为45的补角135.4如图，已知ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若ABa，ACb，用a，b表示AD，AE，AF.解 AD ABBD AB12BC a12(ba)12a12b；AEABBEAB13BCa13(ba)23a13b；AFABBFAB23BCa23(ba)13a23b.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
