1、专题能力训练15椭圆、双曲线、抛物线(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.方程(x+y-3)=0表示的曲线是() A.两条射线B.抛物线和一条线段C.抛物线和一条直线D.抛物线和两条射线2.(2017浙江金丽衢十二校二模)双曲线x2-4y2=4的渐近线方程是()A.y=4xB.y=xC.y=2xD.y=x3.已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点.若OAB的面积为1,则p的值为()A.1BC.2D.44.已知双曲线C1:-y2=1,双曲线C2:=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,
2、M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OMMF2,O为坐标原点,若=16,且双曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长是()A.32B.16C.8D.45.如图,已知双曲线C:=1(a0,b0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q,若PAQ=60,且=4,则双曲线C的离心率为()ABCD6.设A,B是椭圆C:=1长轴的两个端点,若C上存在点P满足APB=120,则m的取值范围是()A12,+)B6,+)C12,+)D6,+)7.已知双曲线=1(a0,b0),A1,A2是其实轴顶点,F是其右焦点,B(0,b)是其虚轴端点,若在线段BF上(不含端点)存
3、在不同的两点Pi(i=1,2),使得PiA1A2(i=1,2)构成以A1A2为斜边的直角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(,+)BCD8.(2017浙江绍兴一中期末)已知抛物线y2=4x的焦点为F,若A,B是该抛物线上的点,AFB=90,线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为点N,则的最大值为()AB.1CD二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知一椭圆的方程为=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点,F2是椭圆的右焦点,则ABF2的周长的最小值为,ABF2的面积的最大值为.10.已知双曲线过点(2,3),其渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程是.11.
4、已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若,则|=.12.已知抛物线C:y2=2px的焦点坐标为F(2,0),则p=;若已知点A(6,3),且点M在抛物线C上,则|MA|+|MF|的最小值为.13.已知双曲线C:=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为.14.已知A是双曲线C:=1(a,b0)的右顶点,过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线于P,Q两点,若APQ是锐角三角形,则双曲线C的离心率的范围是.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过
5、程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知抛物线C:y2=2px(p0)上的一点M(3,t)到其焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)过点T(-2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点,若在x轴上存在一点E,使得EAB是以点E为直角顶点的直角三角形,求直线l的斜率的取值范围.16.(本小题满分15分)如图,已知椭圆+y2=1的左、右顶点分别是A,B,设点P(,t)(t0),连接PA交椭圆于点C,坐标原点是O.(1)证明:OPBC;(2)若四边形OBPC的面积是,求t的值.参考答案专题能力训练15椭圆、双曲线、抛物线1.D解析 (x+y-3)=0,x+y-3=0(y2-4x0)或y2=
6、4x.x+y-3=0(x1或x9)或y2=4x.方程(x+y-3)=0表示的曲线是抛物线和两条射线.故选D.2.D解析 双曲线x2-4y2=4的渐近线方程是y=x.故选D.3.B解析 双曲线-x2=1的渐近线为y=2x,抛物线y2=2px的渐近线为x=-,渐近线与准线的交点为A,B,所以SOAB=2p=1,p=.故选B.4.B解析 因为双曲线C1:=1与双曲线C2:=1的离心率相同,所以,解得,即双曲线C1的一条渐近线方程为y=x,即x-2y=0.又因为OMMF2,OMF2的面积为16,所以|OM|MF2|=|MF2|2=16,解得|MF2|=4,即右焦点F2(c,0)到渐近线x-2y=0的距
7、离为4,所以=4,解得c=4,a=8,2a=16,即双曲线C1的实轴长为16.故选B.5.A解析 因为PAQ=60且=4,所以QAP为等边三角形,设AQ=2R,则PQ=2R,OP=R,渐近线方程为y=x,A(a,0),取PQ的中点M,则由点到直线距离得AM=,在RtAPM中,由勾股定理可得(2R)2-R2=,所以(ab)2=3R2(a2+b2),在OQA中,由余弦定理得,所以R2=a2,由结合c2=a2+b2,可得e=.故选A.6.A解析 当椭圆的焦点在x轴上时,0m4,当P位于短轴的端点时,APB取最大值,要使椭圆C上存在点P满足APB=120,则APB120,APO60,tanAPO=ta
8、n 60=,解得04,当P位于短轴的端点时,APB取最大值,要使椭圆C上存在点P满足APB=120,则APB120,APO60,tanAPO=tan 60=,解得m12.故m的取值范围是12,+),应选A.7.D解析 如图,由题意知F(c,0),B(0,b),则直线BF的方程为bx+cy-bc=0,在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i=1,2),使得PiA1A2(i=1,2)构成以线段A1A2为斜边的直角三角形,以A1A2为直径的圆与BF交于两点,即O与BF的距离小于a,a.e4-3e2+11,e.ab,a2.e.故选D.8.C解析 设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影
9、点分别为Q,P,连接AQ,BQ.由抛物线的定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中,根据中位线定理,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab,又ab,(a+b)2-2ab(a+b)2-2(a+b)2,得到|AB|(a+b).,即的最大值为.故选C.9.102解析 连接AF1,BF1,则由椭圆的中心对称性可得=AF2+BF2+AB=AF1+AF2+AB=6+AB6+4=10,22=2.10.x2-=1解析 双曲线渐近线方程为y=x,故可设双曲线方程为x2-=,双曲线过点(2,3),则4-=,即=1
10、,故双曲线的标准方程是x2-=1.11.5解析 由题意,知F(1,0),设M(x0,y0),N(x,y),则由,可得(x0-1,y0)=(x-x0,y-y0)又由题意可知x=0,则x0=,y0=,y=3y0=,则|=5.12.48解析 抛物线C:y2=2px的焦点坐标为F(2,0),则p=4.已知点A(6,3),且点M在抛物线C:y2=8x上,可知A在抛物线内部,则|MA|+|MF|的最小值为M到抛物线的准线的距离;抛物线的准线方程为x=-2,则|MA|+|MF|的最小值为8.13.解析 如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,MAN=60,|AP|=b,|OP|=.设双曲线
11、C的一条渐近线y=x的倾斜角为,则tan =.又tan =,解得a2=3b2,e=.14.(1,2)解析 由题意得PAF45,PFAF,即a+c,b2a2+ac,c2-a2a2+ace2-e-21,1e0,解得m21.设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,0),则y1+y2=8m,y1y2=16.x1+x2=8m2-4,x1x2=4.EAB是以点E为直角顶点的直角三角形,即AEBE,又=(x0-x1,-y1),=(x0-x2,-y2),=(x0-x1)(x0-x2)+y1y2=-(x1+x2)x0+x1x2+y1y2=-(8m2-4)x0+20=0.方程-(8m2-4)x0+20=0在R上有解.=(8m2-4)2-800,解得m2.由,得m2.直线l的斜率的取值范围为-k,且k0.16.解 (1)设直线PA的方程为y=(x+),由整理得(4+t2)x2+2t2x+2t2-8=0,解得x1=-,x2=,则点C的坐标是,故直线BC的斜率kBC=-,由于直线OP的斜率kOP=,故kBCkOP=-1,OPBC.(2)由S四边形OBPC=,S四边形OBPC=,得,整理得(t-1)(5t2+2t+12)=0.5t2+2t+120,t=1.
