1、第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 学 习 目 标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义(重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算(重点)3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题(难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别(易混点)核 心 素 养 1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，发展学生数学抽象和数学运算素养.2.通过向量共线判断的学习，培养了学生逻辑推理素养.自 主 预 习 探 新 知 1向量的数乘运算(1)定义：规定实数与向量a的积是一个，这种运算叫做向量的数乘，
2、记作：a，它的长度和方向规定如下：|a|；当0时，a的方向与a的方向；当0时，a的方向与a的方向|a|向量相同相反(2)运算律：设，为任意实数，则有：(a)；()a；(ab)；特别地，有()a；(ab).()aa aab(a)(a)ab2共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得b.a思考：定理中把“a0”去掉可以吗？提示 定理中a0不能漏掉若ab0，则实数可以是任意实数；若a0，b0，则不存在实数，使得ba.3向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a，b 及任意实数，1，2，恒有(1a2b).1a2b1若|a|1，|b|2，且 a 与 b
3、方向相同，则下列关系式正确的是()Ab2a Bb2aCa2bDa2bA 因 a，b 方向相同，故 b2a.2点 C 是线段 AB 靠近点 B 的三等分点，下列正确的是()A.AB3BC B.AC2BCC.AC12BCD.AC2CBD 由题意可知：AB3BC；AC2BC2CB.故只有 D 正确3化简：2(3a4b)8a_.2a8b 原式6a8b8a2a8b.4如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，ABAD AO，则 _.2 由向量加法的平行四边形法则知ABAD AC.又O 是 AC 的中点，AC2AO，AC2AO，ABAD 2AO，2.合 作 探 究 释 疑 难
4、向量的线性运算【例 1】(1)若 3(xa)2(x2a)4(xab)0，则 x_.(2)化简下列各式：3(6ab)9a13b；123a2ba12b 212a38b；2(5a4bc)3(a3bc)7a.(1)4b3a 由已知得 3x3a2x4a4x4a4b0，所以 x3a4b0，所以 x4b3a.(2)解 原式18a3b9a3b9a.原式122a32b a34ba34ba34b0.原式10a8b2c3a9b3c7abc.向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”
5、指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算跟进训练1(1)化简234a3b13b146a7b；(2)已知向量为 a，b，未知向量为 x，y，向量 a，b，x，y 满足关系式 3x2ya，4x3yb，求向量 x，y.解(1)原式 234a3b13b32a74b 23432 a31374 b 2352a1112b 53a1118b.(2)3x2ya，4x3yb，由32 得，x3a2b，代入得 3(3a2b)2ya，所以 y4a3b.所以 x3a2b，y4a3b.向量共线定理 探究
6、问题1如何证明向量 a 与 b 共线？提示：要证明向量 a 与 b 共线，只需证明存在实数，使得 ba(a0)即可，一般地，把 a 和 b 用相同的两个向量 m，n 表示出来，观察 a 与 b 具有倍数关系即可 2如何证明 A，B，C 三点在同一直线上？提示：要证三点 A，B，C 共线，只需证明AB与BC或AB与AC共线即可【例 2】(1)已知 e1，e2 是两个不共线的向量，若AB2e18e2，CBe13e2，CD 2e1e2，求证：A，B，D 三点共线(2)已知 A，B，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP xOAyOB，求 xy 的值思路点拨：(1)表示出AB与AD 证明ABAD
7、A，B，D三点共线(2)A，B，P三点线APAB用OA，OB 表示OP观察xy的值 解(1)证明：CBe13e2，CD 2e1e2，BD CD CBe14e2.又AB2e18e22(e14e2)，AB2BD，ABBD.AB 与 BD 有交点 B，A，B，D 三点共线(2)由于 A，B，P 三点共线，所以向量AB，AP在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数 使APAB，即OP OA(OB OA)，所以OP(1)OA OB，故 x1，y，即 xy1.1本例(1)中把条件改为“ABe12e2，BC5e16e2，CD 7e12e2”，问 A，B，C，D 中哪三点共线？解 ABe12e2，BD
8、BC CD 5e16e27e12e22(e12e2)2AB.AB，BD 共线，且有公共点 B，A，B，D 三点共线2本例(1)中条件“AB2e18e2”改为“AB2e1ke2”且 A，B，D 三点共线，如何求 k 的值？解 因为 A，B，D 三点共线，则AB与BD 共线设ABBD(R)，BD CD CB2e1e2(e13e2)e14e2，2e1ke2e14e2.由 e1 与 e2 不共线可得 2e1e1，ke24e2，2，k8.3试利用本例(2)中的结论判断下列三点共线吗？OP 13OA 23OB；OP 2OA 3OB；OP 45OA 15OB.解 中13231，P，A，B 三点共线；中231
9、，P，A，B 三点共线；中4515 351，P，A，B 三点不共线1证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在实数，使得ABAC(或BCAB等)即可(2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点存在实数 x，y，使OA xOB yOC 且 xy1.2利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数，使得 ab(b0)而已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得 的值用已知向量表示未知向量【例 3】(1)如图
10、，ABCD 中，E 是 BC 的中点，若ABa，ADb，则DE()A.12ab B.12abCa12bDa12b(2)如图所示，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 的中点，M，N分别是 DE，BC 的中点，已知BCa，BD b，试用 a，b 分别表示DE，CE，MN.思路点拨：先用向量加减法的几何意义设计好总体思路，然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示(1)D DE DC CEAB12AD AB12AD a12b.(2)由三角形中位线定理，知 DE 12BC，故DE 12BC，即DE 12a.CECBBD DE ab12a12ab.MN MD DB BN12ED DB 12BC1
11、4ab12a14ab.1本例(1)中，设 AC 与 BD 相交于点 O，F 是线段 OD 的中点，AF 的延长线交 DC 于点 G，试用 a，b 表示AG.解 因为 DGAB，所以DFGBFA，又因为 DF12OD1212BD14BD，所以DGABDFBF13，所以AG AD DG AD 13AB13ab.2本例(1)中，若点 F 为边 AB 的中点，设 aDE，bDF，用a，b 表示DB.解 由题意aAB12AD，b12ABAD，解得AB43a23b，AD 23a43b，所以DB ABAD 23a23b.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先
12、利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程 提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系跟进训练2.如图所示，四边形 ABCD 中，M，N 分别是 DC，AB 的中点，已知ABa，AD b，DC c，试用 a，b，c 表示BC，MN.解 BCBAAD DC ABAD DC abc；MN MD DA AN12DC AD 12AB12cb12a12ab12c.课 堂 小 结 提 素 养 1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a 是没有意义的2a 几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍
13、，向量 a|a|表示与向量 a 同向的单位向量3判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数，使 ba.若 存在，则共线；不存在，则不共线4注意记住以下结论并能运用(1)若 A，B，P 三点共线，则OP xOA yOB 且 xy1.(2)在ABC 中，若 D 为 BC 的中点，则AD 12(ABAC)(3)在ABC 中，若 G 为ABC 的重心，则GA GB GC 0.1已知 a5e，b3e，c4e，则 2a3bc 等于()A5e B5eC23eD23eC 2a3bc25e3(3e)4e23e.2对于向量 a，b 有下列表示：a2e，b2e；ae1e2，b2e12e2；a4e125e2，be1 110e2；ae1e2，b2e12e2.其中，向量 a，b 一定共线的有()ABCDA 对于，ba，有 ab；对于，b2a，有 ab；对于，a4b，有 ab；对于，a 与 b 不共线3设 a，b 是两个不共线的向量若向量 ka2b 与 8akb 的方向相反，则 k_.4 因为向量ka2b与8akb的方向相反，所以ka2b(8akb)2k，k8k4(因为方向相反，所以 0k0)4如图所示，已知AP43AB，用OA，OB 表示OP.解 OP OA APOA 43ABOA 43(OB OA)13OA 43OB.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
