1、高考资源网（） 您身边的高考专家第二节直接证明与间接证明最新考纲考情分析核心素养1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.直接证明与间接证明是高中数学的重要推理方法，它们是2021年高考的考点，题型为选择题或填空题，分值为512分.逻辑推理知识梳理1直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题
2、设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件步骤的符号表示P0(已知)P1P2P3Pn(结论)B(结论)B1B2BnA(已知)2.间接证明(1)反证法的定义一般地，由证明pq转向证明qrt，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q为假，推出q为真的方法，叫做反证法(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤分清命题的条件和结论；做出与命题结论相矛盾的假定；由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果
3、；断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真3数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法常用结论1反证法不直接证明命题“若p，则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，从而根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假，必有一真，肯定命题“若p，则q”为真2在应用反证法证题时，一定要用“反证”
4、进行推理，否则就不是反证法基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(5)数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(选修22P89练习T1改编)对于任意角，化简cos4sin4()A2sin B2cos Csin 2Dcos 2答案：D3(选修22P8
5、9练习T2改编)若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是()APQBPQCPQD不能确定答案：A三、易错自纠4若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()Aac2abb2C解析：选Ba2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得，a2abb2.故选B5用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要作的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析：选A方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根，故选A6如果aba
6、b，则a，b应满足的条件是_解析：abab，即()2()0，需满足a0，b0且ab.答案：a0，b0且ab【例1】已知a，b，c0，abc1.求证：(1)；(2).证明(1)a0，b0，c0，abc1，()2(abc)222(abc)(ab)(bc)(ca)3，(当且仅当abc时取等号)(2)a0，3a11，(3a1)24，33a，同理得，33b，33c，以上三式相加得493(abc)6，当且仅当abc时取等号名师点津掌握综合法证明问题的思路|跟踪训练|1已知abc，求证：0.证明：因为abc，所以ab0，bc0，ac0.所以4(ab)(bc)(ab)(bc)2(ac)2.所以，即0.所以0.
7、【例2】已知a0，证明：a2.证明要证 a2，只需证 (2)因为a0，所以(2)0，所以只需证，即2(2)84，所以只需证a2.因为a0，所以a2显然成立(当a1时等号成立)，所以要证的不等式成立名师点津分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法|跟踪训练|2已知a0，1，求证： .证明：由已知1及a0，可知0b，只需证1，即证1abab1，只需证abab0，即1，即1，这是已知条件，所以原不等式得证【例3】设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a
8、2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，得ab22，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b均成立证明当n2时，左边1；右边.，左边右边，不等式成立假设当nk(k2，且kN*)时不等式成立，即，则当nk1时，.当nk1时，不等式也成立由知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立名师点津应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立，证明nk1时也成立，证明时用上归纳
9、假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明命题角度三归纳猜想证明【例6】设f(x)(x0)，数列an满足a1(a0)，an1f(an)(nN*)(1)求a2，a3，a4，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解(1)f(x)(x0)，数列an满足a1(a0)，an1f(an)(nN*)，an1，a2，a3，a4.猜想an.(2)证明：an.当n1时，由(1)可知成立；假设当nk(k1，kN*)时成立，即ak，则当nk1时，ak1，因此nk1时也成立综上可得，an对于nN*都成立名师点津利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性- 9 - 版权所有高考资源网
