1、第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解向量加法的概念，理解向量加法的几何意义及运算律(难点)2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算(重点)3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别(易混点)1.通过对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习，提升学生的直观想象和数学建模素养.2.通过向量的加法运算律，培养学生的数学运算素养.自 主 预 习 探 新 知 1向量加法的定义定义：求的运算，叫做向量的加法对于零向量与任一向量a，规定0+aa.两个向量和a02向量求和的法则三角形法则已知非零向量 a，b，在
2、平面内任取一点 A，作ABa，BCb，则向量AC叫做 a 与 b 的和，记作 ab，即ABBC .abAC平行四边形法则已知两个不共线向量 a，b，作ABa，AD b，以AB，AD为邻边作ABCD，则对角线上的向量 ab.AC思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？提示 不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法 3向量加法的运算律(1)交换律：ab.(2)结合律：(ab)ca(bc)ba1下列各式不一定成立的是()Aabba B0aaC.ACCBABD|ab|a|b|D A，B，C 项满足运算律，而 D 项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则2.CBAD BA等于()
3、A.DB B.CAC.CDD.DCC CBAD BACBBAAD CD.3如图，在平行四边形 ABCD 中，DA DC _.DB 由平行四边形法则可知DA DC DB.4小船以 10 3 km/h 的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 10 km/h，则小船实际航行速度的大小为_km/h.20 根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度大小为 10 3210220(km/h)合 作 探 究 释 疑 难 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 探究问题1求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等(2)
4、三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等2设 A1，A2，A3，An(nN，且 n3)是平面内的点，则一般情况下，A1A2 A2A3 A3A4 An1An的运算结果是什么？提示：将三角形法则进行推广可知A1A2 A2A3 A3A4 An1AnA1An.【例 1】(1)如图，在ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，F 为线段 DE 延长线上一点，DEBC，ABCF，连接 CD，那么(在横线上只填上一个向量)：ABDF _；AD FC_；AD BCFC_.(2)如图甲所示，求作向量和 ab；如图乙所示，求作向量和 abc.甲 乙思路点拨：(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进
5、行代换，然后用三角形法则化简(2)用三角形法则或平行四边形法则画图(1)AC AB AC 如题图，由已知得四边形 DFCB 为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：ABDF ABBCAC.AD FCAD DB AB.AD BCFCAD DF FCAC.(2)解 首先作向量OA a，然后作向量ABb，则向量OB ab.如图所示 法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点 O，作向量OA a，再作向量ABb，则得向量OB ab，然后作向量BC c，则向量OC(ab)cabc 即为所求法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点 O，作向量OA a，OB b，OC c，以 OA，O
6、B 为邻边作OADB，连接OD，则OD OA OB ab.再以 OD，OC 为邻边作ODEC，连接OE，则OE OD OC abc 即为所求1在本例(1)条件下，求CBCF.解 因为 BCDF，BDCF，所以四边形 BCFD 是平行四边形，所以CBCFCD.2在本例(1)图形中求作向量DA DF CF.解 过 A 作 AGDF 交 CF 的延长线于点 G，则DA DF DG，作GH CF，连接DH，则DH DA DF CF，如图所示1向量求和的注意点(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用(2)两个向量的和向量仍是一个向量(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用 2利用三角形法则时，要注意
7、两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量 提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半向量加法运算律的应用【例 2】(1)化简：BCAB；DB CD BC；ABDF CD BCFA.(2)如图，E，F，G，H 分别是梯形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，化简下列各式：DG EACB；EG CG DA EB.思路点拨：根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加 解(1
8、)BCABABBCAC；DB CD BCBCCD DB 0；ABDF CD BCFAABBCCD DF FA0.(2)DG EACBGC BECBGC CB BEGB BEGE；EG CG DA EB EG GD DA AE ED DA AE EAAE0.向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的 实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序跟进训练 1向
9、量(ABPB)(BO BM)OP 化简后等于()A.BC B.AB C.AC D.AMD 原式(ABBM)(PBBO OP)AM 0AM.向量加法的实际应用【例3】如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，ACW150，BCW120，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)思路点拨：解 如图所示，设CE，CF分别表示 A，B 所受的力，10 N 的重力用CG 表示，则CECFCG.易得ECG18015030，FCG18012060.|CE|CG|cos 3010 32 5 3，|CF|CG|cos 6010125.A 处所受的力的大小为 5 3 N，B 处所受的力的大小为 5
10、 N.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤跟进训练 2在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和解 设 AB，BC 分别表示飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km，从B地按南偏东55的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是|AB|BC|；两次飞行的位移的和是ABBCAC.依题意，有|AB|BC|8008001 600(km)，又35，55，ABC355590，所以|AC|AB|2|BC|2 80028002800 2(km)其中BAC45，所
11、以方向为北偏东354580.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80.课 堂 小 结 提 素 养 1三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则2向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行3使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.1下列判断正确的是()A任意两个向
12、量的和仍然是一个向量B两个向量相加实际上就是两个向量的模相加C任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线D|a|b|ab|A 任意两个向量的和仍是一个向量，根据向量加法的几何意义知B，C，D均错误2对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为 BC 的是()A.BAAD DC B.BD DA ACC.ABBD DCD.DC BAADC 在A中，BAAD DC BD DC BC；在B中，BD DAACBAACBC；在C中，ABBD DC AD DC AC；在D中，DC BAAD DC BD BD DC BC.3若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|ab|_，ab的方向是_8 2 km 东北方向 如图所示，作OA a，ABb，则abOA ABOB.所以|ab|OB|82828 2(km)，因为AOB45，所以ab的方向是东北方向4如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：(1)OA OC；(2)BCFE.解(1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形由向量加法的平行四边形法则，得OA OC OB.(2)由题图可知，BCFEOD AO，BCFEAO OD AD.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
