1、章末复习课 整合网络构建 警示易错提醒1注意轨迹与轨迹方程的区别(1)“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围(2)求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程2注意条件，避免忽略隐含条件致错圆的方程问题的破解关键是“圆心”和“半径”，特别是对于圆的一般方程，一定要注意其隐含条件，即D2E24F0，否则，易造成增解或漏解3注意过程，避免忽略多解致错有关圆的方程的问题在求解的过程中要特别注意漏解的情况，因为决定圆的方程的条件一般是圆心和半径
2、，但符合条件的圆往往不止一个，因此要特别注意多解的产生4运用代数法判断两圆位置关系时的易错点用代数法判断两圆的位置关系时，方程组一解或无解时两圆的位置关系不确定，还需进一步判断当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆无公共点，两圆可能相离也可能内含；只有一组解时，两圆只有一个公共点，两圆可能外切也可能内切专题一求圆的方程圆的方程有两种形式，圆的标准方程(xa)2(yb)2r2明确了圆心和半径，圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)体现了圆的二元二次方程的特点在实际求解中常常先求出圆的标准方程，再化简为一般方程，求圆的方程常用的方法为几何法和待定系数法 例1已知ABC的三个顶点分别为A(
3、1，5)，B(2，2)，C(5，5)，求其外接圆的一般方程解：法一设所求圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，由题意可得解得故圆的方程为x2y24x2y200.法二由题意可求得弦AC的中垂线方程为x2，BC的中垂线方程为xy30，由解得所以圆心P的坐标为(2，1)圆半径r|AP|5.所以圆的方程为(x2)2(y1)225，即x2y24x2y200.归纳升华用待定系数法求圆的方程的一般步骤第一步：选择圆的方程的某一形式；第二步：由题意，得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；第三步：解出a，b，r(或D，E，F)；第四步：代入圆的方程在高考中单独求圆的方程的情况不多，一般在考查直线
4、与圆的位置关系中间接考查变式训练已知ABC三边所在直线的方程为AB：x2y20，BC：2xy60，CA：x2y60，求ABC的外接圆的方程解：由题先求出ABC的三个顶点由得B(2，2)，由得C(6，6)，由得A(4，1)，又A、B、C都在外接圆上，故设外接圆方程为(xa)2(yb)2r2.解方程组得a1，b，r2.所以所求外接圆方程为(x1)2.专题二直线与圆的位置关系讨论直线与圆的位置关系时，一般可以从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(直线到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中用几何特征解决与圆有关的问题比较简捷实用如直线与圆相交求弦长时，利用公式d2r2(其中，弦长为l，弦心距为d，半
5、径为r)比利用代数法求弦长要简单实用例2(1)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切B相交C相离 D不确定(2)在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_解析：(1)由题意，知点M在圆外，则a2b21.圆心到直线的距离d0)的公共弦的长为2，则a_解析：(1)由题意，知圆心为(1，0)由圆的切线与直线axy10垂直，可设圆的切线方程为xayc0.因为切线xayc0过点P(2，2)，所以c22a，所以，解得a2.(2)x2y22ay6，x2y24，两式相减得y.联立消去y得x2(a0)所以22，解得a1.答案：(
6、1)C(2)1专题三圆中的对称问题圆关于点、直线对称的圆形仍然是一个和原来的图形全等的圆因此，求对称的圆的方程，只需要求出圆心关于点、直线对称的点的坐标即可，半径大小不变例3求圆C：(x2)2(y3)21关于直线l：xy10对称的圆C的方程解：法一由条件，知所求圆的圆心C(a，b)与圆C的圆心C(2，3)关于直线l对称故有解得即C(4，3)故圆C的方程为(x4)2(y3)21.法二设M(x，y)为曲线C上的任意一点，并设点M关于直线l: xy10的对称点为M(x0，y0)，则点M(x0，y0)在曲线C上，即(x02)2(y03)21.由题意，得得代入(x02)2(y03)21，得(x4)2(y
7、3)21.故圆C的方程为(x4)2(y3)21.归纳升华点关于点对称，直线关于点对称，主要是利用中点坐标公式；点关于直线对称，利用垂直和中点坐标公式；直线关于直线对称，有可能平行，也有可能相交，都可利用点到直线的距离公式变式训练自点A(3，3)发出的光线射到x轴上，被x轴反射后，其反射光线所在直线与圆x2y24x4y70相切，求入射光线l所在的直线方程解：如图所示，圆C：x2y24x4y70关于x轴对称的圆C为(x2)2(y2)21，由题意设过A点与圆C相切的直线斜率为k，则l：y3k(x3)点(2，2)到直线l的距离为d1，解得k或k.所以入射光线l的方程为：3x4y30或4x3y30.专题
8、四数形结合思想1数形结合的思想方法是一种重要的方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围，其中可先找出要求最值的量的几何意义，再应用平面几何知识求解2与圆有关的最值问题是本章中的一个难点，常见的类型包括以下几种(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大、最小距离：dmax|OP|r，dmin|OP|r；(2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmaxmr，dmin|mr|；(3)已知某点的运动轨迹是(xa)2(yb)2r2，求，x2y2等式子的最值，一般运用几何法求解例4已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；
9、(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此，解得k(如图1)所以的最大值为，最小值为.图1图2 图3(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图2)所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)又圆心到原点的距离为
10、2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.归纳升华此类问题应首先从代数式的几何意义入手，把代数问题转化为几何问题，再作出几何图形，根据图形的几何性质，观察最值出现的位置，从而解决代数式的最值问题，这是用几何方法解决代数问题的常用方法变式训练(1)设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6B4C3D2(2)已知实数x，y满足方程(x3)2(y3)26，求xy的最大值和最小值(1)解析：如图所示，圆心M(3，1)与定直线x3的最短距离为|MQ|3(3)6，又圆的半径长为2，故所求最短距离为624.答案：B(2)解：设xyt，由题意，知直线xyt与圆(x3)2(y3)26有公共点，所以dr，即.所以62t62.所以xy的最小值为62，最大值为62.
