1、双曲线的定义14sinsins n21iABCBCBCABCBCxA在中，若以的中点为原点，所在的直线为 轴建立直角坐标系【例】，则求动点 的轨迹方程2222221222()(2,0)2,022123113ACABBCABCCBaacabcbyxx 依题意由正弦定理得：，即顶点的轨迹是以，为焦点，实轴长等于 的双曲线的一支 除去该支的顶点 建立如图所示直角坐标系，则，由，得 ，又 ，由 得 ，所求轨迹方程为【解析】双曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于双曲线的有关问题，要有运用双曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略求轨迹要做到不重不漏，应把不满足条件的点去掉运用双曲
2、线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支【变式练习1】一动圆与圆(x3)2y21外切，又与圆(x3)2y29内切，求动圆圆心的轨迹方程1212121222222()134.(3,0)3,0243251(2)45MM xyMOAOBMOMAMOMBMOMOMOOabxyx如图，设动圆圆心坐标为，圆与圆外切于，与圆内切于，则，由双曲线定义知，点轨迹是以，为焦点，实轴长为 的双曲线的右支，所以 所求轨迹方【程为：解析】双曲线的性质22221 0,0(0)34xyabcablA aBbOlc设双曲线的半焦距为，直线 过、，两点，且坐标原点到直线 的距
3、离为，求双曲线的【例2】离心率22222222242442222113224133.24833()116162 33161602.302 322.3OAaOBbABcOABabcabc ccabca caceeeeeeabacaeee因为，在中，有又 ，所以，即 ，所以，解得 或 因为，所以，所以，所以应舍去，所解以析【】本题是一道求圆锥曲线离心率的大小(或范围)的典型题，求解的关键在于根据条件列出关于该曲线的基本量a，c的齐次方程(或不等式)，再解方程(或不等式)，进而求得离心率的值(或范围)值得注意的是，本题极易忽视题设中的条件“0a0，b0)的左顶点与抛物线 y22px(p0)的焦点的距
4、离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为 2 5.【解析】双曲线x2a2y2b21 的渐近线为 ybax，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)得p22，即 p4.又因为p2a4，所以 a2，将(2，1)代入 ybax 得 b1，所以 c a2b2 41 5，所以 2c2 5.22223.11(1)xyaaae设，则双曲线 的离心率 的取值范围是_(2,5)222222211()1(1).1(1)1012525.caaeaaataeea 因为函数 是，上的单调减函数，所以，所即】以，【解析2212124.116209xyFFPPFP
5、F设，是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，若点 到焦点 的距离等于，求点 到焦点 的距离【解析】由|PF1|PF2|8及|PF1|9得|PF2|1或17.又由2a8，c236c6知右支的顶点到F1的距离为10，而已知|PF1|9，说明点P在左支上，此时，|PF2|10，因此，点P到焦点F2的距离为17.222255.120,12305xyeabA已知双曲线 的离心率，点与双曲线上的点的最小距离是，求该双曲线的方程22222222221512.24cabcabcbaaaacbabaa 由双曲线的方程知，则，两边平方，得又，得，所以【解析】222222222222222222()144.4(1
6、)44(1)145()4.5515424301.22.551.4B xyxyxybabABxybyyybyyABbbabxyR设，为双曲线上的任意一点依题意有，整理得 故 因为，所以，当 时，取得最小值，最小值为，解得 所以 故该双曲线的方程为1由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法首先是根据焦点位置设出方程的形式(含有参数)，再由题设条件确定参数值应特别注意：(1)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；2222222222222222220(0)0011()2(3)410bxayb xa yxyxyabxybkaakbkxymnmn 已知渐近线方程，求双曲线的方程，可设双曲线
7、方程为，再根据其他条件确定 的值若求得 ，则焦点在 轴上；若求得 ，则焦点在 轴上；与双曲线 共焦点的双曲线方程可表示；过两个已知点的双曲线的标准方程表示为 2由已知双曲线方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点的位置，防止将焦点坐标和准线方程写错3熟悉双曲线的渐近线的几何特征(无限接近双曲线但与双曲线不相交)和代数特征(渐近线方程是双曲线标准方程中的“1”换为“0”)；平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，但不相切(体现在代数上：直线方程代入曲线方程得到的是一次方程)已知渐近线方程为：ykx，则双曲线方程为：k2x2y2，其中是待定的参数(渐近线不能唯一地确定双曲线)双曲线的焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b.