1、2.1向量的概念及表示1了解向量的实际背景，理解平面向量的概念(重点)2理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义(重点、难点)3理解向量的几何表示(重点)基础初探教材整理1向量的定义及表示阅读教材P59图212以上部分内容，完成下列问题.定义既有大小又有方向的量称为向量表示方法(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为；(2)字母表示：用小写字母a，b，c表示模向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)有向线段就是向量()(2)向量就是
2、有向线段()(3)有向线段可以用来表示向量()【答案】(1)(2)(3)2下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程；密度；功其中不是向量的有_(填序号)【解析】一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量【答案】教材整理2向量的有关概念及其表示阅读教材P59图212以下内容至P60例2以上内容，完成下列问题.名称定义表示方法零向量长度为0的向量记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量(或共线向量)方向相同或相反的非零向量a与b平行(或共线)，记作
3、ab相等向量长度相等且方向相同的向量a与b相等，记作ab相反向量长度相等且方向相反的向量a的相反向量记作a判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ab，bc，则ac.()(2)若ab，则a与b的方向一定相同或相反()(3)若非零向量，那么ABCD.()(4)向量可以比较大小()【解析】(1)正确(2)0与任何向量共线，但0方向任意，故(2)错误(3)，A，B，C，D可能共线，故(3)错误(4)因为向量有方向性，故向量不能比较大小【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型向量的概念给出下列
4、命题：若|a|b|，则ab或ab；向量的模一定是正数；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上其中正确命题的序号是_【精彩点拨】解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假【自主解答】错误由|a|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系错误.0的模为零正确对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的错误共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量、必须在同一直线上【答案】1在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)2涉及共线向量
5、或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量3对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可再练一题1判断下列命题是否正确，并说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；(2)若向量|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|b|，若a与b的方向相同，则ab；(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反【解】(1)不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方
6、向关系(3)正确|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得ab.(4)不正确依据规定：0与任一向量平行(5)不正确因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定.向量的表示一辆汽车从A点出发，向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.(1)作出向量，；(2)求|.【精彩点拨】解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解【自主解答】(1)如图：(2) 由题意，易知与方向相反，故与共线，即ABCD.又|，在四边形ABCD中，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，|200(千米)用
7、有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量.再练一题2在如图211的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使ba；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|，并说出向量c的终点的轨迹是什么？图211【解】(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略)探究共研型共线向量探究1两向量平行，则两向量所在的直线平行吗？【提示】不一定
8、平行探究2若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？【提示】向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)探究3向量平行具备传递性吗？举例说明【提示】向量的平行不具备传递性，即若ab，bc，则未必有ac，这是因为，当b0时，a，c可以是任意向量，但若b0，必有ab，bcac.如图212，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点图212(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量；(2)写出图中所示向量与向量相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量. 【导学号：06460039
9、】【精彩点拨】结合相等向量、共线向量的概念，对(2)(3)作出判断，结合正三角形的性质对(1)作出判断【自主解答】(1)与长度相等的向量是，.(2)与相等的向量是，.(3)与共线的向量是，；与共线的向量是，.1寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线2寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量再练一题3如图213，四边形ABCD为正方形，BCE为等腰直角三角形，图213(1)图中与共线的向量有_；(2)图中与相等的向量有_；(3)图中与模相等的向量有
10、_；(4)图中与相等的向量有_；(5)图中与互为相反向量的有_【解析】(1)ABCD，A，B，E三点共线，与，共线(2)ABBE，且与方向相同，.(3)ABBCCDDABE，|.(4)EC綊BD，.(5)|，且与方向相反，与互为相反向量【答案】(1)，、(2)(3)，(4)(5)构建体系1下列说法正确的是_零向量的长度为零；零向量与任一向量都是共线向量；零向量没有方向；零向量的方向是任意的【解析】零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，错【答案】2下列命题中，正确的是_a，b是两个单位向量，则a与b相等；若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同；
11、共线的单位向量必是相等向量【解析】若a与b中有一个是零向量，则a与b共线【答案】3如图214，已知正方形ABCD边长为2，O为其中心，则|_.图214【解析】由于正方形的对角线长为2，|.【答案】4如图215所示，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，且a，b，c.在以A，B，C，D，E，F，O为起点或终点的向量中：图215(1)模与a的模相等的向量有_个(2)长度与a的长度相等，方向相反的向量有_(3)与a共线的向量有_(4)请一一列出与a，b，c相等的向量_.【解】(1)满足条件的向量有23个(2)长度与a的长度相等，方向相反的向量有，.(3)与a共线的向量有，.(4)与a相等的有，；与b
12、相等的有，；与c相等的有，.【答案】(1)23(2)，(3)，(4)与a相等的有，；与b相等的有，；与c相等的有，5在如图216所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：图216(1)，使|4，点A在点O北偏东45；，使|4，点B在点A正东；，使|6，点C在点B北偏东30. 【导学号：06460040】【解】(1)由于点A在点O北偏东45处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等又|4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示(2)由于点B在点A正东方向处，且|4，所以在坐标纸上点B距点A的
13、横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示(3)由于点C在点B北偏东30处，且|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十四)向量的概念及表示(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1已知非零向量ab，若非零向量ca，则c与b必定_【解析】平行向量主要考虑方向相同或相反，依题意可知，c，b同向或者反向，所以c与b必定平行(或共线)【答案】平行(或共线)2如图(1)，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图
14、(2)中提供的向量行走，则这些向量的排列顺序为_图217【答案】aedcb3已知a，b为两个向量，给出以下4个条件：|a|b|；a与b的方向相反；|a|0或|b|0；a与b都是单位向量由条件_一定可以得到a与b平行【解析】长度相等或都是单位向量不能得到ab，但方向相反或其中一个为零向量可以说明ab.故填.【答案】4已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m_.【解析】与不共线，且m，m，m0.【答案】05如图218所示，已知AD3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有_图218【解析】满足条件的向量有以下几类：模长为2的
15、向量有：，；模长为3的向量有：，.【答案】，6给出以下5个条件：ab；|a|b|；a与b的方向相反；|a|0或|b|0；a与b都是单位向量其中能使a与b共线的是_(填所有正确的序号)【解析】根据相等向量一定是共线向量知正确；|a|b|但方向可以任意，不成立；a与b反向必平行或重合，成立；由|a|0或|b|0，得a0或b0.根据0与任何向量共线，得成立；两单位向量的模相等但方向不定，不成立【答案】7如图219，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为_图219【解析】ABEF，CDEF，与方向相
16、反的向量为，.【答案】，8如图2110所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形图2110(1)与向量相等的向量有_；(2)若|3，则向量的模等于_【解析】相等向量既模相等，又方向相同，所以与相等的向量有，.若|3，则|3，所以，|236.【答案】(1)，(2)6二、解答题9一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30方向行驶2千米才到达B地图2111(1)在如图2111所示的坐标系中画出，；(2)求B地相对于A地的方位. 【导学号：06460041】【解】(1)向量，如图所示(2)由题意知
17、，AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，则B地相对于A地的方位是“北偏东60，6千米”10如图2112所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形图2112(1)写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)向量与是否相等？【解】(1)与相等的向量有：，.(2)与共线的向量有：，.(3)向量与不相等，因为与的方向相反，所以它们不相等能力提升1已知在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，则|_ .【解析】结合菱形的性质可知|22.【答案】22如图2113所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，连结相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量
18、，则与平行且长度为2的向量个数有_图2113【解析】图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个【答案】8个3如图2114所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集MO，A，B，C，D，向量的集合T|P，QM，且P，Q不相等，则集合T有_个元素图2114【解析】以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5420(个)但这20个向量不是各不相等的，它们有12个向量各不相等，即为()，()，()，()，()，()，()，()，由元素的互异性知T中有12个元素【答案】124如图2115，在正方形ABCD中，M，N分别为AB和CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？图2115【解】不妨设正方形的边长为2，则以A，B，C，D，M，N为起点和终点的向量中：模为2的相等向量共有8对，.模为1的相等向量有12对，其中与同向的有，这四个向量组成相等的向量有6对，即，同理与反向的也有6对模为的相等向量共有4对，.
