1、3.2数学归纳法的应用1会利用数学归纳法证明一些简单的不等式及综合问题2了解贝努利不等式及其应用的条件，会用数学归纳法证明贝努利不等式(难点)基础初探教材整理贝努利不等式定理阅读教材P38P39“练习”以上部分，完成下列问题定理对任何实数x1和任何正整数n，有(1x)n1nx.在贝努利不等式中当x0时，n为大于1的自然数，不等式形式将有何变化？【解】当x0时，不等式将变成等式，即(1x)n1nx. 质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型贝努利不等式的简单应用设ba0，nN，证明：(ba)1.【精彩点拨】由
2、ba0，令1x(x0)，利用贝努利不等式证明【自主解答】由ba0，知1，令1x(x0)，则x1，由贝努利不等式(1x)n1nx，(1x)n1nx1n，故(ba)1.利用1x代换，为利用贝努利不等式创造条件.再练一题1试证明1与(nN)【证明】由nN，n12.由贝努利不等式，得(1)11.(2)由(1)得1，故.用数学归纳法证明不等式试证明：2n2n2(nN)【精彩点拨】【自主解答】(1)当n1时，左边2124，右边1，左边右边；当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边因此当n1,2,3时，不等式成立(2)假设当nk(k3且kN)时，不
3、等式成立当nk1时，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)(因k3，则k30，k10)k22k1(k1)2.所以2k12(k1)2.故当nk1时，原不等式也成立根据(1)(2)知，原不等式对于任何nN都成立通过本例可知，在证明nk1时命题成立的过程中，针对目标k22k1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围(k1)太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤(把验证n1扩大到验证n1，2，3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k3，促使放缩成功，达到目标.再练一题2已知Sn1(n1，nN)，求证：S2n1(n2，nN). 【导学号：9491003
4、9】【证明】(1)当n2时，S2211，即n2时命题成立(2)假设nk时命题成立，即S2k11.当nk1时，S2k11111.故当nk1时，命题也成立由(1)(2)知，对nN，n2，S2n1都成立.探究性问题设f(n)1，由f(1)1，f(3)1，f(7)，f(15)2，.(1)你能得到怎样的结论？并证明；(2)是否存在一个正数T，使对任意的正整数n，恒有f(n).下面用数学归纳法证明：当n1时，f(211)f(1)1，不等式成立假设当nk(k1，kN)时不等式成立，即f(2k1)，则f(2k11)f(2k1)f(2k1)f(2k1).当nk1时不等式也成立据知，对任何nN原不等式均成立(2)
5、对任意给定的正数T，设它的整数部分为T，记mT1，则mT.由(1)知，f(22m1)m，f(22m1)T，这说明，对任意给定的正数T，总能找到正整数n(如可取假设中n为2m)，使得f(n)T，不存在正数T，使得对任意的正整数n，总有f(n)对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论【解】当n1时，则，a.(1)n1时，已证(2)假设当nk时，.当nk1时，.，0，也成立由(1)，(2)可知，对一切nN，都有，a的最大值为25.构建体系1用数学归纳法证明2nn2(n5，nN)成立时第二步归纳假设的正确写法是()A假设nk时命题成立B假设nk(kN)时命题成立C假设nk(k5)时命题
6、成立D假设nk(k5)时命题成立【解析】由题意知n5，nN，应假设nk(k5)时命题成立【答案】C2利用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nN)的过程，由nk到nk1时，左边增加了()A1项Bk项C2k1项D2k项【解析】1.共增加2k项【答案】D3用数学归纳法证不等式1成立，起始值至少取()A7B8C9D10【解析】左边等比数列求和Sn2，即1，.n7，n取8，选B.【答案】B4用数学归纳法证明11)时，第一步即证明不等式_成立. 【导学号：94910040】【解析】因为n1，所以第一步n2，即证明12成立【答案】125证明：12(nN)【证明】(1)当n1时，不等式成立(2)假设nk时
7、，不等式成立，即12.那么nk1时，2(n2)的过程中，由nk递推到nk1时不等式左边()A增加了一项B增加了两项和C增加了B中的两项但减少了一项D以上均不正确【解析】由.故选C.【答案】C2利用数学归纳法证明不等式“n22n对于nn0的正整数n都成立”时，n0应取值为()A1B3C5D7【解析】1223,4224，利用数学归纳法验证n5，故n0的值为5.【答案】C3对于不等式n1(nN)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正
8、确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确【解析】在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法【答案】D4对于正整数n，下列说法不正确的是()A3n12nB0.9n10.1nC0.9n对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A12B13C14D不存在【解析】令f(n)，易知f(n)是单调递增的f(n)的最小值为f(2).依题意，m14.因此取m13.【答案】B二、填空题6用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN)”时，第一步的验证为_. 【导学号：94910041】【解析】当n1时，2111212，即44成立【答案】21112127观察式子：1，1，1，则可归纳出_【答案】
9、1(n2，nN)8用数学归纳法证明 (a，b是非负实数，nN)时，假设nk时不等式 (*)成立，再推证nk1时不等式也成立的关键是将(*)式同乘_【解析】要想办法出现，两边同乘以，右边也出现了要求证的.【答案】三、解答题9设a，b为正实数，证明：对任意nN，有(ab)nannan1b.【证明】由(1x)n1nx(x1，nN)，n1，即1，(ab)nann，故(ab)nannban1.10设0a1，定义a11a，an1a.求证：对一切正整数nN，有1an1，又a11a，当n1时，命题成立(2)假设nk(k1，kN)时，命题1ak(1a)a1，同时，ak1a1a，当nk1时，命题也成立，即1ak1
10、.综合(1)、(2)可知，对一切正整数n，有1an，假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标是()A.B.C.D.【解析】注意不等式两边含变量“n”的式子，因此当nk1时，应该是含“n”的式子发生变化，所以nk1时，应为.【答案】A2若k棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱对角面的个数为()A2f(k)Bk1f(k)Cf(k)kDf(k)2【解析】由nk到nk1时增加的对角面的个数与底面上由nk到nk1时增加的对角线一样，设nk时，底面为A1A2Ak，nk1时底面为A1A2A3AkAk1，增加的对角线为A2Ak1，A3Ak1，A4Ak1，Ak1Ak1，A1Ak，共有(k1)条，因此
11、对角面也增加了(k1)个【答案】B3设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线的交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示). 【导学号：94910042】【解析】f(3)2，f(4)5，f(5)9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(n)f(n1)n1.累加，得f(n)f(3)34(n1)(n3)，f(n)(n1)(n2)【答案】5(n1)(n2)4已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn10(n2，nN)(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：SSS.【解】(1)S1a1，2.当n2时，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.2，故是以2为首项，2为公差的等差数列(2)证明：当n1时，S，成立假设nk(k1，且kN)时，不等式成立，即SSS成立，则当nk1时，SSSS.即当nk1时，不等式成立由可知对任意nN不等式成立
