1、1已知函数 f(x)x2ln xax1，g(x)ex(2ln xx)(1)若函数 f(x)在定义域上是增函数，求 a 的取值范围；(2)求 g(x)的最大值解：(1)由题意得 x0，f(x)12x ax2.由函数 f(x)在定义域上是增函数得，f(x)0，即 a2xx2(x1)21(x0)因为(x1)211(当 x1 时，取等号)，所以 a 的取值范围是1，)(2)g(x)ex2x12ln xx，由(1)得 a2 时，f(x)x2ln x2x1，且 f(x)在定义域上是增函数，又 f(1)0，所以，当 x(0,1)时，f(x)0.所以，当 x(0,1)时，g(x)0，当 x(1，)时，g(x)
2、0，f(x)是增函数，当 x(e1a，)，f(x)0，f(x)是减函数，f(x)在 xe1a 处取得极大值，f(x)极大值f(e1a)ea1，无极小值(2)当 e1a1 时，由(1)知 f(x)在(0，e1a)上是增函数，在(e1a，e2上是减函数，f(x)maxf(e1a)ea1，又当 xea 时，f(x)0，当 x(0，ea时，f(x)0.f(x)的图象与 g(x)1 的图象在(0，e2上有公共点，ea11，解得 a1，又 a1，a1.当 e1ae2，即 a1 时，f(x)在(0，e2上是增函数，f(x)在(0，e2上的最大值为 f(e2)2ae2，原问题等价于2ae2 1，解得 ae22
3、，又 a1，无解综上，实数 a 的取值范围是1，)3已知函数 f(x)ax2bxcex(a0)的导函数 f(x)的两个零点分别为3 和 0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)的极小值为e3，求 f(x)在区间5，)上的最大值解：(1)f(x)2axbexax2bxcexex2ax22abxbcex.令 g(x)ax2(2ab)xbc，因为 ex0，所以 f(x)的零点就是 g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且 f(x)与 g(x)的正负符号相同又因为 a0，所以当3x0，即 f(x)0，当 x0 时，g(x)0，即 f(x)5，所以函数 f(x)在区间5，)上的最大值是 5e5.
