1、高考数学预测系列试题（4）主观题 1若，其中，函数且的图象关于直线对称（）求的解析式；PEDCBA（）将的图象向左平移个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象；若函数，的图象与的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求的值如图，四棱锥PABCD的底面是边长为的正方形，为上一点，（）求证：平面；（）求二面角的正切值；（）在侧棱上是否存在一点，使得平面，若存在，指出点位置，并证明，若不存在，说明理由 123 5 10 15 2025参加人数活动次数3按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活 动(以下简称活动). 该校高2010级一班50名学生在
2、上学期参加活动 的次数统计如图所示（I）从该班任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率（II）从该班中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的 绝对值，求随机变量的分布列及数学期望（III）从该班中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之和， 记 “函数在区间上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率4已知函数(为常数)是R上的奇函数，函数g(x)=是区间上的减函数.()求的值；()若上恒成立，求t的取值范围；()讨论关于x的方程的根的个数 5已知，点满足，记点的轨迹为.（）求轨迹的方程；（）若直线过点且与轨迹交于、两点. （i）设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动
3、， 都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.（ii）过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围. 已知函数的反函数为，数列和满足：，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为（）求数列的通项公式；（）若数列的项仅最小，求的取值范围；（）令函数，数列满足：，且，其中证明：【参考解答】1. 解：（）的图象关于直线对称，（）将的图象向左平移个单位得到：再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 后得到，函数，的图象与的图象的三个交点坐标分别为，则由已知结合如图图象的对称性有：得，解：（）证明：PA=AD=1，PD=，PA2+AD2=PD2 即PAAD又PACDADCD=D，P
4、A平面ABCD （）过E作EGPA交AD于G，从而EG平面ABCDPEDCBAHGO且AG=2GDEG=PA=连结BD交AC于O，过G作GHOD交AC于H连结EHGHAC EHAC，EHG为二面角DACE的平面角HG=OD=（）因为PA，AB，AD两两垂直，所以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴, y轴，Z轴建立空间直角坐标系则A（0，0，0） B（1，0，0）C（1，1，0）P（0，0，1）E（0，），设平面AEC的法向量则 令y=1，则，假设PC存在一点F且，使得BF平面AEC则又（）=（），存在P的中点F，使得BF平面AEC3. 解：（I）从该班任选两名学生，他们参加活动次数恰
5、好相等的概率，故 （II）从该班中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，则的可能取值分别是，于是，从而的分布列：012的数学期望： （III）因为函数在在区间上有且只有一个零点，则，即，又由于的取值分别为，故故所求概率 4. 解：() 是奇函数， = ， ，故 ()由（）知：，上单调递减，上恒成立，只需，恒成立，令,则，而恒成立， () ，令当上为增函数；当为减函数；当而，方程无解；方程有一个根；方程有两个根。 5. 解（）由知，点的轨迹是以为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为（）当直线的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消得，设，解得.（i）.假设存在实数，使得，故得对任意的恒成立，解得，故当时，.当直线的斜率不存在时，由知结论也成立.综上，存在，使得. （ii），直线是双曲线的右准线， 由双曲线定义得：,，.直线的斜率不存在时，,此时综上，. 6. 解:（）令，解得，由，解得，函数的反函数，则，得是以2为首项，l为公差的等差数列，故（），在点处的切线方程为， 令， 得，仅当时取得最小值，解之， 的取值范围为（），则，因，则，显然 ，